Занятие 9-11. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии

Задачи

1. - замкнутая пространственная ломаная, где .

Доказать, что

1. В пространстве даны два параллелограмма и . Доказать, что середины отрезков являются вершинами нового параллелограмма.
2. Показать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра взаимно перпендикулярны.
3. Доказать, что если в параллелепипеде все диагонали равны, то он прямоугольный.
4. Доказать, что в кубе плоскость и диагональ перпендикулярны.
5. Доказать, что если в некотором пространственном четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других сторон.
6. Найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, если его медиана, проведенная к боковой стороне, составляет с основанием угол, синус которого равен .
7. На стороне параллелограмма взята точка так, что . Прямая пересекает диагональ в точке . Определить отношение : .
8. Основание равнобедренного треугольника равно , угол при вершине равен . Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.
9. Найти косинусы углов равнобедренного треугольника, у которого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к основанию.
10. Найти синус угла ромба, если из середины его стороны противоположная сторона видна под углом .
11. Угол при вершине трапеции равен . Боковая сторона вдвое больше меньшего основания . Найти .

Обсуждение самостоятельных решений задач ИДЗ. Работа № 6. Приложение векторов к решению задач. [5].