Шпренгельные системы

Усилия в стержнях ферм способом моментной точки (см. § 4.2) определяются по формуле

где М — момент левых или правых сил относительно моментной точки; — плечо усилия N относительно этой точки.

Из этой формулы видно, что чем больше , тем меньше (при прочих равных условиях) усилие

Увеличение высоты фермы приводит к увеличению плеч и уменьшению усилий в ее элементах.

Рис. 4.71

По конструктивным соображениям удобно располагать раскосы фермы так, чтобы они составляли со стойками и поясами углы, близкие к 45°. Поэтому увеличение высоты ферм приводит к увеличению длины панелей. Так, например, для соблюдения этого условия панели фермы с параллельными поясами должны быть примерно равны высоте фермы (рис. 4.71, а).

Устройство больших панелей вызывает увеличение массы проезжей части моста — поперечных балок, опирающихся на узлы фермы, и главным образом вспомогательных балок, опирающихся на поперечные балки. Экономия материала на поясах фермы, достигаемая при увеличении высоты фермы, может оказаться меньше дополнительного его расхода на устройство проезжей части моста.

Задача увеличения высоты фермы может быть рационально решена при введении в состав каждой панели дополнительных двухопорных фермочек — шпренгелей (рис. 4.71, б), опирающихся на узлы основной фермы. Стержни таких фермочек работают лишь на местную нагрузку, т. е. на нагрузку, приложенную в пределах их пролетов. Вертикальная местная нагрузка, действующая на шпренгель, передается вертикально же в узлы основной фермы, которые являются для шпренгеля опорами. Стержень (штриховая линия

на рис. 4.71, б) необходим только для обеспечения геометрической неизменяемости системы; усилие в нем равно нулю.

Шпренгели позволяют поставить поперечные балки не только в основных узлах фермы, но и в дополнительных и уменьшить за счет этого сечения вспомогательных балок; в результате существенно облегчается проезжая часть моста. Применение шпренгелей позволяет избежать увеличения массы проезжей части моста при возрастании длины панели и добиться уменьшения усилий в поясах фермы путем увеличения ее высоты.

Связав подвесками нижние дополнительные узлы шпренгелей с шарнирами, поставленными посередине каждого из элементов верхнего пояса основной системы, получим ферму, изображенную на рис. 4.71, в, которая работает совершенно так же, как и ферма без подвесок (рис. 4.71, б). Уменьшив затем длины подвесок и вертикальных опорных стержней (с помощью которых шпренгели опираются на узлы основной фермы) и сделав их в пределе равными нулю, получим ферму, изображенную на рис. 4.71, г. В этой ферме нижние пояса шпренгелей сливаются с элементами верхнего пояса основной фермы. По характеру работы такая ферма аналогична ферме со шпренгелями, изображенной на рис. 4.71, д. Усилия в подвесках последней фермы равны нулю. Практически длину каждой такой подвески делают равной нулю, т. е. совмещают узел k с узлом s. В результате получается ферма, изображенная на рис. 4.71, е, которая носит название шпренгельной или фермы со шпренгелями.

Шпренгели, изображенные на рис. 4.71, е, передают местную вертикальную нагрузку, приложенную к верхним дополнительным узлам, вертикально в верхние узлы основной фермы.

Такие шпренгели условимся называть одноярусными. Применяются также шпренгели, которые местную нагрузку, приложенную к верхним узлам, передают на нижние узлы] основной фермы (рис. 4.71, ж), или такие, которые нагрузку, приложенную к дополнительным узлам нижнего пояса, передают на верхние узлы основной фермы. Такие шпренгели будем называть двухъярусными.

Рис. 4.72

Нельзя считать шпренгелем систему (рис. 4.72), которая хотя и опирается на узлы основной фермы, но передает на них кроме вертикальных давлений еще и горизонтальные усилия.

Элементы ферм, в состав которых входят одноярусные шпренгели, можно разбить на следующие три категории:

1) элементы, принадлежащие только основной ферме. Усилия в этих элементах определяются расчетом основной фермы; эти усилия не меняются при включении в ферму шпренгелей;

2) элементы, принадлежащие только дополнительным фермам (шпренгелям). Усилия в них могут быть найдены из условий равновесия, составляемых для отдельных частей шпренгеля, который

при этом можно рассматривать как самостоятельную двухопорную ферму;

3) элементы, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелю. Усилие в каждом из них равно сумме двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое — в слившемся с ним элементе шпренгеля.

Элементы ферм, в состав которых входят двухъярусные шпренгели, делятся на четыре категории: из них первые три те же, что и для ферм с одноярусными шпренгелями; элементами четвертой категории являются те из элементов основной фермы (первой категории), линии влияния для которых имеют различный вид при езде поверху и при езде понизу. Наличие двухъярусных шпренгелей, передающих местную нагрузку из нижних узлов в верхние (или наоборот), меняет условия работы таких элементов.

Рис. 4.73

Линии влияния усилий в элементах четвертой категории можно получить следующим путем. Построить сначала линию влияния изучаемого усилия для основной фермы (без учета шпренгелей) при движении по верхним узлам фермы, а затем при движении по нижним узлам. Затем следует установить закон изменения усилия при наличии в системе двухъярусных шпренгелей. Для этого необходимо перемещать груз по узлам шпренгельной системы и учитывать, что груз, расположенный в дополнительных узлах с помощью шпренгелей, передается из узлов одного пояса фермы (например, нижнего) в узлы другого пояса (верхнего).

Пример 1. Для элементов 2—3, 5—4 и 4— 7 фермы с одноярусными шпренгелями (рис. 4.73, а) построить линии влияния (езда понизу).

Решение. Начнем с построения линии влияния усилия 1/23. Стержень 2—3 является элементом первой категории, а потому при построении линии влияния можно шпренгельные фермочки выкинуть и, таким образом, свести задачу к построению линии влияния усилия в основной ферме (рис. 4.73, б). Вырезая из нее узел 3 и рассматривая его равновесие, находим, что линия влияния имеет вид треугольника, изображенного на рис. 4.73, в.

При построении линии влияния усилия (стержень 4—7 является элементом второй категории) выделим из состава всей системы шпренгель 5—4—7 и рассмотрим его как самостоятельную двухопорную ферму (рис, 4.73, г).

грузе расположенном в узле 5, усилие в стержне 4—7 определится из уравнения, составленного для узла 7:

откуда

При грузе, расположенном в опорных узлах, усилие равно нулю.

Полученных значений достаточно для построения линии влияния (рис. 4.73, д).

Для определения усилия в стержне 5—4 сделаем разрез (стержень 5—4 является элементом третьей категории) и, предполагая, что груз находится на участке между узлами 5—13, рассмотрим равновесие левой части фермы:

откуда

Полученное уравнение показывает, что пока груз находится на указанном участке, линия влияния может быть получена из линии влияния RA умножением ее ординат на а).

Это обстоятельство позволяет легко построить правую прямую линии влияния (рис. 4.73, е).

Рис. 4.74

Левую прямую строим, используя положение о том, что она должна пройти через нулевую точку левой опоры и пересечься с правой прямой под моментной точкой, находящейся в данном случае в бесконечности. Передаточную прямую проводим, соединяя вершины ординат влияния под узлами 5 и 5 (рис. 4.73, е). Интересно отметить, что при отсутствии шпренгелей передаточная прямая соединила бы ординаты под узлами 5 и 7, в результате чего исчез бы треугольник являющийся в шпренгельной ферме линией влияния усилия элемента 5—4 (аналогично изображенной на рис. 4.73, Здля элемента 4—7).

Пример 2. Построить линию влияния для стойки 3—4 (элемента четвертой категории) фермы с двухъярусными шпренгелями (рис. 4.74, а); движение происходит по нижнему поясу фермы.

Решение. Выбросив шпренгельные фермы, получим основную систему, изображенную на рис. 4.74, 6.

Построим для нее линии влияния усилия в стойке 3—4 при движении поверху и понизу.

Сделаем разрез (рис. 4.74, б). Предположив, что груз находится в правой части фермы, составим условие равновесия для левой части:

(см. скан)

Рис. 4.75.

(см. скан)

Рис. 4.76.

откуда

Отложив на левой опорной вертикали вниз ординату и соединив ее вершину с нулевой точкой правой опоры, получим правую прямую линии влияния, на которую снесем узлы 5, 7, 9 и 11 (в случае движения понизу) или узлы 4, 6, 8, 10 и 11 (при езде поверху). Левую прямую строим, используя известное положение о том, что она пересекается с правой под моментной точкой (точкой к). Затем проводим передаточные прямые.

Построенные таким образом для основной системы линии влияния при движении понизу и поверху изображены на рис. 4.74, в, г. Из них видно, что пока груз находится левее узла 1 или правее узла 5, числовая величина усилия не зависит от того, на какие узлы (нижние или верхние) основной фермы передается нагрузка.

Груз, расположенный в узлах 3 и 5, с помощью шпренгелей (двухъярусных) передается в верхние узлы фермы, и, следовательно, в этот момент как бы осуществляется движение поверху.

Поэтому ординаты линии влияния для заданной системы (см. рис. 4.74, а) измеряются в этом случае отрезками (рис. 4.74, г).

Рис. 4.77

При положении же груза в узле 3 шпренгельные фермы не работают и, следовательно, ординатой искомой линии влияния является отрезок n — n на рис. 4.74, в,

Найденных ординат достаточно для того, чтобы вычертить искомую линию влияния усилия в стойке 3—4.

Эта линия влияния для заданной (шпренгельной) системы изображена на рис. 4.74, д.

Задача. Для ферм, изображенных на рис. 4.75 и 4.76, требуется:

а) проверить построенные линии влияния (движение по нижним поясам ферм);

б) построить линии влияния для стержней, отмеченных черточками.

Указание. При построении линии влияния усилия в стойке 8—9 (рис. 4.76) следует сначала получить основную систему, исключив шпренгели (рис. 4.77, а).

Усилие в стержне 8—9 основной системы определяем из условий равновесия узла 9:

Следовательно, усилие в стержне 8—9 равно усилию в стержне 7—9,

умноженному на постоянный коэффициент а). Верхний индекс означает, что рассматривается усилие в стержне основной системы.

Линия влияния усилия в элементе верхнего пояса 7—9 изображена на рис. 4.77, б. Она имеет вид равнобедренного треугольника с отрицательной ординатой в вершине:

Линия влияния Для случая движения понизу (рис. 4.77, в) также имеет вид равнобедренного треугольника.

Наибольшая ордината этой линии влияния равна

Для построения линии влияния ПРИ движении поверху следует вторично рассмотреть условие равновесия узла 9, прикладывая к нему груз

Линия влияния при движении поверху изображена на рис. 4.77, г.

Из линий влияния (рис. 4.77, в, г) видно, что пока груз находится левее узла 6 или правее узла 10, числовая величина усилия не зависит от того, на какие узлы (нижние или верхние) основной фермы передается нагрузка.