Теорема о взаимности возможных работ

Рассмотрим два состояния какого-либо сооружения, например балки на двух опорах (рис. 6.10, а). В состоянии i на эту балку действует обобщённая сила F_i, а состоянии j – обобщённая сила F_j. Обобщённые силы F_i и F_j в упомянутых состояниях прикладываются статическим способом. На рис. 6.10, а показаны действительные (, ) и возможные (, ) перемещения по направлению обобщённых сил.

Рис.6.10

Вычислим работу обобщённых сил F_i и F_j от их совместного воздействия. Сначала статическим способом приложим обобщённую силу F_i, которая на перемещении будет совершать действительную работу W_{ext, ii}(рис. 6.10, б). После окончательного формирования обобщённой силы F_i статическим способом приложим обобщённую силу F_j. Балка получит дополнительные деформации и перемещения: – возможное перемещение в направлении обобщённой силы F_i от действия обобщённой силы F_j, – действительное перемещение в направлении обобщённой силы F_j от её же воздействия (рис. 6.10, б внизу). Постоянная по величине обобщённая сила F_iсовершает возможную работу W_{ext, ij} на перемещении , а статически приложенная сила F_j – действительную работу W_{ext, jj} на перемещении . Суммарная работа внешних обобщённых сил будет равна

.

Зависимости для вычисления действительной и возможной работы внешних обобщённых сил F_i и F_j:

,

,

.

Таким образом, выражение суммарной работы от совместного действия обобщённых сил F_i и F_j в случае, когда первой прикладывается сила F_i, а второй F_j, примет вид:

. (6.1)

Рассмотрим обратный порядок приложения обобщённых сил: первой приложим статическим способом обобщённую силу F_j, а затем, после её окончательного формирования, – обобщённую силу F_i (рис. 6.10, в). Суммарная работа внешних обобщённых сил F_i и F_j в этом случае запишется:

.

Учитывая, что , получим:

. (6.2)

Значение суммарной работы внешних обобщённых сил F_i и F_j не зависит от последовательности их приложения, т.е.

= .

Приняв во внимание соотношения (6.1) и (6.2) окончательно будем иметь:

, или

W_{ext, ij} = W_{ext, ji}. (6.3)

Выражение (6.3) и составляет содержание теоремы о взаимности возможных работ внешних сил: возможная работа i-й обобщённой силы (внешних сил i-го состояния) на перемещениях, вызванных j-й обобщённой силой (внешними силами j-го состояния), равна возможной работе j-й обобщённой силы (внешних сил j-го состояния) на перемещениях, вызванных i-й обобщённой силой (внешними силами i-го состояния). В строительной механике эта теорема носит имя итальянского учёного Энрико Бетти (1823–1892).

Без доказательства отметим справедливость теоремы Бетти для внутренних сил

W_{int, ij} = W_{int, ji},

т.е. возможная работа внутренних сил i-го состояния на деформациях j-го состояния равна возможной работе внутренних сил j-го состояния на деформациях i-го состояния.

Из теоремы Бетти, как частный случай, вытекают другие теоремы взаимности строительной механики, широко используемые в расчётах сооружений.

6.2.2. Теорема о взаимности перемещений

Рис.6.11

Теорема о взаимности перемещений широко применяется в расчётах линейно деформируемых систем, в частности, в расчётах статически неопределимых систем методом сил, при построении линий влияния перемещений в стержневых сооружениях.

Выше был рассмотрен случай, когда в состоянии i и j сооружения действуют единичные сосредоточенные силы (рис. 6.11), т.е. силы, имеющие одинаковую природу и одинаковую размерность. На рис. 6.12 рассмотрена ситуация, когда в состоянии i на сооружение действует сосредоточенная сила F_i = 1, а состоянии j – сосредоточенный момент M_j = 1. Здесь же показаны и возможные перемещения и , вызываемые упомянутыми силами F_i = 1 иM_j = 1. Кажущееся противоречие в размерностях перемещений и , равенство которых определено соотношением (6.4), отпадает, если мы примем во внимание, что каждое из этих перемещений является удельным перемещением, т.е. что оно вызывается обобщённой силой, имеющей не произвольное, а единичное значение. Таким образом, размерность какого-либо удельного перемещения есть отношение размерности рассматриваемого обобщённого перемещения к размерности обобщённой силы, вызвавшей это перемещение. В случае, рассмотренном на рис. 6.12, имеем:

= см/кНсм = кН^-1, = рад/кН = кН^-1,

т.е. оба перемещения имеют одинаковую размерность.

Рис.6.12

19Определение перемещений в стержневых системах

наиболее общим методом определения перемещений в стержневых системах является метод Мора (иногда говорят: Максвелла – Мора), в основе которого лежат два основных принципа механики: начало возможных перемещений и закон сохранения энергии. Прежде чем перейти к изложению метода, остановимся на его основных теоретических предпосылках.