Казанов Ю.К

Элементы вычислительной математики: Учебное пособие.-М.: МГУПИ, 2007. – 139с.

Изложены основные теоретические положения и методы приближенных вычислений: решение нелинейных уравнений, интерполяция функций, решение интегралов и дифференциальных уравнений. Пособие содержит развернутые задания на курсовую работу.

Предназначено для студентов, подготавливаемых по специальности 2301 " Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”.

Табл. 28. Ил.31. Библиограф.: 4 назв.

© Казанов Ю.К., 2007

© МГУПИ, 2007

1 Задачи вычислительной математики ……………..………………………………5

2 Элементы теории чисел и погрешностей вычислений ………………..……….. 6

2.1 Источники и классификация погрешностей ………………………….……. 6

2.2 Абсолютная и относительная погрешности ……………….………….……. 9

2.3 Размерность чисел, значащие и верные цифры ………….…………………10

2.4 Округление чисел …..……………….…………………………………….…13

2.5 Правило записи приближенных чисел ………….……………………….….15

2.6 Вычисление погрешностей при арифметических действиях......................15

3 Численное решение нелинейных уравнений ………………………………….. 20

3.1 Постановка задачи ……………….………………………………………….. 20

3.2 Отделение корней …………………………………………………………… 22

3.3 Метод половинного деления ……………………………………………….. 26

3.4 Метод касательных (метод Ньютона) ………………………………………29

3.5 Метод хорд ………..……………………………………….………………… 33

3.6 Оценка погрешности вычислений …………..…………….……………….. 35

3.7 Сходимость итерационной последовательности …………...…………….. 38

3.8 Метод простой итерации ………………..………………….………………. 39

3.8.1 Сущность метода простой итерации ……………..……..….…………39

3.8.2 Условие сходимости метода ………………………………………….. 41

3.8.3 Особенности преобразования первичной функции …………………. 43

3.8.4 Приведение функции к виду, пригодному для

метода простой итерации …………………………………………..… 47

4 Численное решение системы линейных уравнений ………….…..…………... 50

4.1 Основные положения ……………..……………………….……………….. 50

4.2 Прямой метод исключения Гаусса ………………………………………... 52

4.3 Метод итерации для систем линейных уравнений ……….…..……….…..60

5 Приближение функций …….…………………………………….…….…….… 66

5.1 Постановка задачи об аппроксимации функции …………………………. 66

5.2 Полиномиальная интерполяция …………..……………….……….……… 67

5.2.1 Полином Лагранжа ………..…………………………….…….……… 70

5.2.2 Полином Ньютона. Метод конечных разностей …………………….71

5.3 Погрешность и сходимость интерполяции ………………………………...76

5.4 Применение интерполяции к точечным расчетам

значений функции..…………….…………..……….…………..….………...78

5.5 Приближение функции методом наименьших квадратов ………………..79

5.6 Кусочно-полиномиальная аппроксимация. Сглаживание функции..…….88

6 Численное интегрирование ………………………………………….….………93

6.1 Задача приближенного вычисления определенных интегралов.

Принцип квадратуры…….…………………….………………….….……..93

6.2 Формула прямоугольников ……………………………………………..….96

6.3 Формула трапеций ……………………………………………….………....99

6.4 Формула Симпсона ……………………………………………….…..……100

6.5 Учет погрешностей квадратурных формул методом

двойного пересчета …………….……………………………….…….……103

7 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений …..……106

7.1 Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений……….106

7.2 Графическая интерпретация решения обыкновенного

дифференциального уравнения..………..…………………….….……….108

7.3 Метод Эйлера ………..………………………………………….….……….110

7.4 Метод Эйлера-Коши ………..…………………………. ………………..…114

7.5 Точность методов численного решения обыкновенных

дифференциальных уравнений …………….………………………….…..118

7.6 Метод Рунге-Кутты …………………………………………………………119

Литература …………………………………………………………………………125

Приложение А…………………………….. ……………………………………...126

Приложение Б …………………………………………………………………..…136