Отделение корней

Отделение корней обычно производится графически и (или) аналитически. В общем случае процедура отделения корня уравнения не может быть алгоритмизирована. Поэтому нередко отделение корней нелинейных уравнений выполняется «вручную» с использованием всей возможной информации о функции f(x). Иногда приближенное значение корня может быть определено из физических соображений, если нелинейное уравнение означает какую-либо конкретную прикладную задачу.

Графический метод отделения корней. Он обладает большой наглядностью и позволяет относительно просто устанавливать возможность существования кратных корней. Рассмотрим уравнение третьей степени:

Если - корень уравнения, то очевидно, что y=0 при 0= или

(2)

Обозначим

; .

Каждая из функций y₁ и y₂ достаточно проста, в том числе и в графической интерпретации. Изобразим и (см. рисунок 4).

Корень уравнения (2) будет отвечать абсциссе точки М пересечения двух графиков и . В данном случае, очевидно, что уравнение имеет только один корень и он находится на отрезке

Табличный способ отделения корней. Рассмотрим еще один пример. Выполним процедуру отделения корня уравнения

(3)

Представим эту функцию в виде двух функций:

;

Очевидно, если , то или . Выделим ряд точек на числовой оси и вычислим значения функций и , а также их отношение. Результаты вычислений представим таблично (таблица 1).

Рисунок 4 - Отделение корня нелинейного уравнения

Таблица 1 - К отделению корня уравнения

		-1
		0, 2
		-3
	>	>	<	<	>	>

Можно построить графики функций и , но достаточно рассмотреть отношение . Видим, что оно дважды изменяется по величине. Первый раз - на отрезке (-1; 0), второй раз - на отрезке (1; 2). Очевидно, что именно на этих отрезках должны находиться точки пересечения графиков двух функций. Поэтому можно утверждать, что уравнение (3) имеет два корня и они должны находиться на указанных выше отрезках (см. рисунок 5). Графический способ применяется наиболее часто. Обычно с него и начинают отделение корня, однако он не обладает большой точностью, и поэтому делать окончательно выводы на его основе не всегда удается.

При отделении корня достаточно эффективно применение следующей теоремы:

Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) определена на отрезке (a; b) и меняет знак, т.е. , то на этом отрезке содержится по крайней мере один

Рисунок 5 - Отделение корня уравнения

корень уравнения f(x)=0 или нечетное количество корней. Если же функция f(x) непрерывна и дифференцируема, и ее производная сохраняет знак внутри отрезка (a; b), то на этом отрезке находится только один корень уравнения f(x) =0. Действительно, как видно из рисунка 6а, при , при , следовательно,

Рисунок 6 – Условия существования нечетного количества корней

. На рисунке 6б при соблюдении условия функция имеет три корня. Если же , то на этом отрезке либо корней нет, либо их четное количество (см. рисунок 7).

Рисунок 7 - Уравнение имеет два корня

Иногда для определения количества корней можно воспользоваться классическими методами исследования функции, рассматриваемыми в курсе математического анализа.

Задача 6. Отделить корни уравнения .

Решение. Продифференцируем это уравнение и получим другое (на порядок ниже):

.

Видим, что второе уравнение имеет два корня, а соответственно первичная функция f(x) должна иметь два экстремума. При , очевидно, что и тем более . Тогда можно утверждать, что при . При очевидно . Тогда становится ясно, что описываемая уравнением функция имеет седловидную форму, а искомое уравнение должна иметь по крайней мере один, а максимум три корня. Попробуем оценить значения функции в районе х=0 (табл.2).

Таблица 2 - Значения функции

x		-2	-1
y		-9, 4	-2, 5	-1, 2	0, 5	8, 6

Очевидно, что корень уравнения должен уточняться на отрезке (a; b)=(0; 1), так как именно на этом отрезке происходит изменение знака функции.