Метод хорд

Для обоснования метода целесообразно вспомнить из аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Предположим, что известны координаты точек M( x₁; y₁ ) и N( x₂; y₂ ), рисунок 10. Следует записать уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

Возьмем на прямой МN произвольную точку C с координатами C( x; y ). Из подобия двух прямоугольных треугольников ( подобен ) можно записать:

или .

Рисунок 10 - К выводу уравнения прямой, проходящей через две точки

Получили уравнение прямой, проведенной через две точки. Теперь рассмотрим следующую процедуру уточнения корня. Предположим, имеется функция f(x) с корнем, лежащим в пределах отрезка (a; b), рисунок 11.

Рисунок 11 - К обоснованию метода хорд

Построим итерационную последовательность, взяв в качестве начального условия левый конец отрезка – число a. Соединим две точки M и N, отвечающие значениям функции и запишем уравнение хорды MN, приняв :

.

Так как по условию существования корня на отрезке (a; b) , то хорда должна пересечь ось OX в точке x₁. Значение x₁ найдем из очевидного условия: при х=х₁y=0. Тогда

или .

Вычислив значение f(x₁) (ордината точки C) и соединив точки С и N, получим вторую хорду NC, которая пересечет ось OX в точке x₂. Очевидно, что

.

В общем виде можно записать:

.

Это рекуррентная формула для вычисления приближенного значения корня методом хорд. Остается открытым вопрос о том, когда прекращать итерационный процесс. Ответ на него будет дан ниже.

В приложении Б представлена блок-схема решения уравнения методом хорд (рисунок Б.3).