Источники и классификация погрешностей

Как уже было отмечено выше, получаемые численными методами результаты обычно содержат погрешности. Это вызывается рядом объективных причин, среди которых есть не связанные непосредственно с методами вычислений. Чтобы разобраться в них, надо проанализировать основные этапы математического решения прикладных задач. Они следующие:

- построение математической модели задачи;

- определение исходных данных;

- решение полученной математической задачи.

Погрешности появляются уже на первом этапе, так как математическая модель задачи – это ее приближенное, идеализированное описание на языке математики. При моделировании объекты и процессы задачи-оригинала, реализуемые в результате взаимосвязи между ее независимыми факторами (параметрами), заменяются на математические понятия и соотношения. Ради того, чтобы получаемая в итоге математическая задача оказалась доступной для дальнейших исследований, учитывают лишь наиболее важные факторы, условия и особенности исходной задачи. Чем меньше факторов отбрасывается, тем точнее получаемая модель, но платой за это будет усложнение модели.

Несмотря на приближенность результатов математического моделирования, без него в исследовательской практике не обойтись. Оно представляет собой обязательную ступень при переходе от нематематической задачи к математической. Многовековая история науки показала, что в конечном итоге продуктивное исследование многих явлений реального мира оказывается возможным лишь тогда, когда удается построить их математические модели. Таким образом, работая с математической моделью, следует заранее смириться с объективной неточностью результатов в силу неточности (неполноты) самой модели.

Следующей причиной появления погрешностей во многих случаях является невозможность установить точные значения параметров учитываемых в модели факторов. Серьезные проблемы с этим возникают не только при исследовании, например, космических объектов или земной атмосферы, когда приходиться прибегать к различным прикидкам и сложным измерительным процедурам, но и при решении достаточно бытовых задач. Например, пусть требуется найти объем некоторой реальной емкости, имеющей форму цилиндра (цистерна, бак и т.п.). Если не учитывать обычно имеющиеся шероховатости, вмятины, закругления на стыке и другие возможные отклонения этого предмета от идеального прямого кругового цилиндра, его объем можно вычислить по формуле . Ясно, что с учетом вышесказанного результат будет приближенным. При любом способе измерений радиуса основания R и высоты H емкости получим их значения с погрешностями, зависящими прежде всего от точности измерительных инструментов. Иррациональное число обычно заменяют приближенным значением, погрешность которого зависит от количества сохраняемых при округлении цифр. Таким образом, вторым источником неточностей будут исходные данные.

После того, как математическая модель построена и определены исходные данные, необходимо подобрать метод решения полученной математической задачи. Круг математических методов подразделяется на аналитические, численные, практические. Нас интересуют, конечно, численные методы, которые в свою очередь подразделяются на точные и приближенные.

Численный метод называется точным, если он дает принципиальную возможность после выполнения конечного числа операций над точными числами получить точное решение задачи. К таким методам относится, например, алгоритм решения квадратного уравнения. Если все коэффициенты уравнения х²+2х-1=0 не содержат погрешностей, алгоритм приведет к точным корням х₁=-3, х₂=1. В ранее приведенном примере (объем цилиндра) формула также не порождает сама по себе погрешностей. Подставив в нее точные значения R=2, H=4, 5, получим точное иррациональное число .

Для большинства реальных задач, тем более модельных, точных методов решения вообще не существует. Например, поиск точного значения функции, разложенной в ряд, может свестись к нахождению суммы членов этого ряда, что в общем случае практически осуществить невозможно. Приходится пользоваться приближенными численными методами, приводящими к приближенным результатам даже при точных исходных данных и точных вычислениях. Возникают так называемые погрешности метода.

В процессе реализации численных методов приходится выполнять арифметические операции над приближенными числами (например, , е) вычислять значения функций, а также округлять исходные данные, промежуточный и окончательный результаты. При этом оказывается, что погрешность результата любого арифметического действия, как правило, превышает погрешности исходных данных (см. ниже). Известно также, что значения корней и трансцендентных функций (; ; и т.п.) чаще всего удается найти только приближенно с помощью математических таблиц, компьютерных средств вычисления или приближенной формулы типа

Перечисленные погрешности называются вычислительными.

Наконец, определенное влияние на результаты оказывает степень точности используемых средств вычислений (логарифмическая линейка, арифмометр, калькулятор, ЭВМ). Для представления чисел в них выделяется ограниченное количество десятичных разрядов, что является следствием автоматического округления числовых данных.

Суммируя вышесказанное, отмечаем, что основными источниками погрешностей являются:

1) замена реальной задачи математической моделью;

2) затруднения в определении точных исходных данных;

3) применение приближенных методов;

4) арифметические действия над приближенными числами;

5) вычисление значений функций;

7) округление чисел;

8) ограниченность разрядной сетки вычислительного устройства.

Пункты 1, 2, 7 определяют неустранимую погрешность, остальные пункты определяют погрешность метода и погрешность вычисления и обработки результатов.

Очевидно, что, поскольку приближенные результаты решений задач бесполезны без информации о степени их точности, в процессе вычислений обязательно следует вести учет погрешностей. Соответственно надо знать правила и методы работы с погрешностями.