Полином Ньютона. Метод конечных разностей

Полином Лагранжа, как правило, применяется для вычисления значения функции в точке, лежащей внутри интервала, содержащего узловые точки, но не совпадающей ни с одной узловой точкой. Для таких вычислений не обязательно иметь общий вид функции . Для получения общего вида интерполяционного полинома (а затем и многочлена) чаще применяют полином Ньютона. Он может быть получен из полинома Лагранжа и, соответственно, является одним из его частных следствий. Полином Ньютона имеет вид:

.

Значения коэффициентов А_i можно получить, если последовательно подставлять в уравнение полинома значения переменных х_i → x₀, x₁, x₂, …, x_n. Требование совпадения значения полинома с заданными значениями функции в узловых точках приводит к системе линейных уравнений:

при ;

при ;

при ;

при ;

……………………………………………………………………….

Из этих уравнений легко находятся коэффициенты А_i:

;

;

и т.д.

Безусловно, вычисление коэффициентов становится весьма трудоемкой операцией. Однако существует более удобный и компактный способ нахождения коэффициентов полинома Ньютона. Но первоначально решим представленную выше задачу, воспользовавшись полиномом Ньютона.

Задача 18. Произвести интерполяцию таблично заданной функции полиномом Ньютона.

Решение. Воспользовавшись вышеприведенными соотношениями для вычисления коэффициентов полинома Ньютона, определим:

; .

.

.

Следовательно, полином Ньютона примет вид:

.

Если выполнить необходимые арифметические действия и привести подобные члены, получим окончательно интерполяционную функцию:

.

Получив решение вышеприведенной задачи, попробуем найти коэффициенты полинома Ньютона следующим образом. Применительно к функции выполним некоторые расчеты, результаты которых занесем в следующую таблицу.

Таблица 19 - Рачет коэффициентов полинома Ньютона

	0, 5 1, 0   1, 5   2, 0	2, 75 4, 0   8, 75   20, 0

В столбце записаны частные от деления

.

В столбце записаны частные от деления

.

Соответственно в столбце записаны частные от деления

,

где индекс i=1…n.

Заметим, что в таблице в первой строке имеем следующий ряд чисел: 2, 75; 2, 5; 7, 0; 4, 0. Это коэффициенты в ранее полученном полиноме Ньютона и начальная граница интервала. Очевидно, что табличный расчет существенно облегчил получение коэффициентов A_i в полиноме Ньютона. Таблица 19, представленная выше, называется таблицей конечных разностей. Величины называются конечными разностями нулевого порядка, - конечные разности первого порядка, - конечные разности второго порядка и т.д. до - конечная разность п – го порядка.

Примечание: термин “конечные разности” применяется в случае разбиения отрезка интерполирования на равные интервалы. Если разбиение неравномерное, то применяется термин “разделенные разности”.

В задаче 18 интерполяция проводилась на всем отрезке задания функции [ x₀ ; x₃ ] с интервалом 0, 5. Однако с помощью таблицы конечных разностей очень легко построить интерполяционный полином на любом интервале (в пределах заданного отрезка) и, что иногда важно, взять за основу любую границу (не обязательно ею должна быть а=х₀). Например, нам интересна интерполяция на отрезке [ x₀ ; x₁ ] Тогда полином Ньютона примет следующий вид:

или

.

Построим геометрический образ этого полинома первой степени (рисунок 17).

Рисунок 17 - Геометрическая трактовка конечной разности

Очевидно, что функции будут соответствовать все точки отрезка АВ (например, точка D). Тогда, если, например, х=х₁, получим

.

Можно утверждать, что

.

Иначе, конечные разности первого порядка – это приближенные значения первых производных заданной функции в начале интервала. Точно так же можно показать, что остальные конечные разности – суть производные соответствующего порядка, взятые на границе соответствующего интервала. Например, . Эти выводы крайне важны и в другом аспекте – с помощью построения таблицы конечных разностей можно производить численное дифференцирование любой (в том числе и заданной аналитически) функции.

Вполне понятно, что интерполяционный график функции по двум точкам [ x₀ ; x₁ ] – это прямая линия, уравнение которой мы и получили. Это так называемая линейная интерполяция. Нетрудно также видеть, что, если (х₁ –х₀) → 0, то

.

В качестве примера можно записать полином Ньютона при интерполяции вышерассмотренной функции на участке [ x₁=1, 0; x₂=2, 0 ]. Он будет иметь вид:

или .

Полином Ньютона, а также расчет конечных разностей, упрощается, если табличная функция представлена на отрезке с равноотстоящими интервалами, т.е.

.

Тогда коэффициент А_т в полиноме Ньютона (если за начало отрезка интерполирования принять х₀) надо вычислять по формуле:

,

а конечные разности рассчитываются так, как показано в таблице 20.

Таблица 20 - Запись конечных разностей

Полином Ньютона записывается следующим образом:

.

В таком виде полином Ньютона называют первым интерполяционным многочленом Ньютона.