Полиномиальная интерполяция

Пусть на отрезке задано дискретное множество несовпадающих точек , которые называются узлами, в которых известны значения функции . Иначе, функция задана таблично:

Таблица 17 – Табличная запись исходной функции

				….
				….

Интерполяцией называется процесс приближения функции функцией при условии, что в узлах сохраняется строгое равенство

, .

Иногда этот процесс называют Лагранжевой интерполяцией. Очевидно, что график функции должен проходить так, что по крайней мере в (п+1 ) заданных точках он пересечет или коснется графика функции , рисунок 16.

Рисунок 16 - Принцип интерполяции функции

Легко представить, что таких графиков , проходящих через заданные точки, можно изобразить сколько угодно, и они могут отличаться от графика сколь угодно сильно, если не накладывать на эти функции определенных ограничений.

Рассмотрим процедуры приближения функции многочленом степени (п). Тогда задача интерполяции (полиномиальной) формулируется так: для функции , заданной таблицей, найти многочлен такой, чтобы выполнялась совокупность условий интерполяции , . Найти многочлен - это значит, учитывая его каноническую форму

,

найти все его коэффициенты . Для этого есть как раз (п+1) условие (табличная функция ). Таким образом, чтобы многочлен был интерполяционным для функции , нужно, чтобы его коэффициенты удовлетворяли системе уравнений:

………………………………………..

.

Заметим, что неизвестными в этом случае являются коэффициенты , а известными являются значения . Можно вышеприведенную систему уравнений представить и в векторной форме:

,

где

;

Определитель В в курсе алгебры называется определителем Вандермонда. Если он равен нулю, то существует единственное решение системы. Таким образом, процедура интерполяции сводится к решению системы линейных уравнений.

Задача 16. Проинтерполировать функцию, заданную таблично, найдя коэффициенты многочлена степени п=3 решением линейных уравнений.

	0, 5	1, 0	1, 5	2, 0
	2, 75	4, 0	8, 75	20, 0

Решение. Составим систему линейных уравнений. Она будет иметь вид:

.

Применив способ единственного деления, выполним необходимые расчеты, занося результаты в таблицу 18.

Обратным ходом рассчитываем значения неизвестных:

; ; ; .

Искомый интерполяционный многочлен имеет вид:

.

Таблица 18 - Решение задачи 16

Так как определитель системы имеет частный вид, разработаны алгоритмы нахождения коэффициентов интерполяционного многочлена, исключающие необходимость решения системы линейных уравнений. Рассмотрим два способа нахождения коэффициентов интерполяционного многочлена.