Метод Рунге-Кутты

Метод Рунге-Кутты позволяет строить схемы решения ОДУ различного порядка точности. Основная идея метода состоит в том, что ищется (по определенному алгоритму) несколько направлений касательных в промежуточных точках, выбранных на отрезке расчета, и затем, придав каждому из направлений индивидуальный вес, высчитывают усредненное направление касательной из левой точки отрезка вычисления. Методы Рунге-Кутты отличаются различием в количестве, назначении промежуточных расчетных точек и шкалой весовых коэффициентов для расчетных направлений. Ниже рассматривается наиболее широкоприменяемый чертырехшаговый метод Рунге-Кутты. Анализируя ранее приведенные методы, заметим, что метод Эйлера – одношаговый, т.е. приближение получают за одно вычисление. Метод срединной точки – двухшаговый, а метод с пересчетом – трехшаговый. Таким образом, с понятием «многошаговый расчет» мы фактически уже знакомы.

Если решается ОДУ при начальных условиях ; и точным его решением будет функция , то, применяя разностный метод, ищут очередную точку , лежащую на кривой функции при в виде какого-то приближения. Первое приближение – это точка , получаемая методом Эйлера и имеющая ординату . Тогда можно обратить внимание на то, что , а ордината точки , т.е. точное приращение функции заменяется его дифференциалом (рисунок 30). Как известно, , но при . Метод Рунге-Кутты состоит в построении специального алгоритма – такого, чтобы величина возможно максимально совпала с .

Рисунок 30 - К обоснованию метода Рунге-Кутты

Рассмотрим четырехшаговый метод Ругнге-Кутты, также иногда называемый схемой четвертого порядка точности. Его геометрическая трактовка представлена на рисунке 31. Предположим, имеется ОДУ при начальных условиях ; , что соответствует точке . Найдем очередную точку приближения к искомой функции для . Разделим участок пополам. Дальнейшие процедуры рассматриваем пошагово.

Рисунок 31 - Геометрическая трактовка алгоритма метода Рунге-Кутты

1) Первый шаг метода Рунге-Кутты заключается в следующем. Находим точку построением касательной с тангенсом угла наклона (метод Эйлера). Обозначим приращение . По методу срединной точки находим точку и ее ординату

.

Для этой точки рассчитывается новое направление касательной

.

Первый шаг завершается получением и .

2) Второй шаг заключается в построении из точки второй касательной с тангенсом угла наклона и получении точки . Определяют приращение для этой точки . На этой касательной рассчитывают положение срединной точки :

и строят через нее очередную касательную

.

Таким образом, становятся известны уже три угловых коэффициента .

3) Третий шаг заключается в построении опять из точки касательной линии с тангенсом угла наклона . В результате получают третье приближение , а ее приращение равно .

Для этой точки рассчитывают направление четвертой касательной:

.

4) Четвертый шаг заключается в построении из точки касательной (уже четвертой) с тангенсом угла наклона и получении четвертой точки приближения .

В результате получены четыре точки (равно как и дифференциалы , но это только некоторые приближения к конечной точке . Заключительным шагом является расчет положения точки , которая и принимается за следующее приближение к функции при . Приближение рассчитывают как средневзвешенное , причем с разичными весовыми коэффициентами:

.

Иначе, доля внутренних приближений принимается более значимой по сравнению с приближениями крайними.

В общем виде метод Рунге-Кутты по схеме четвертого порядка записывается следующим образом:

,

где ;

;

;

.

Задача 24. Решить ОДУ вида для участка при начальных условиях ; ; . Решение получить методом Эйлера и методом Рунге-Кутты.

Решение. В данном случае мы можем получить и точное решение этого уравнения. Действительно:

; ; ;

;

.

Очевидно, что . Тогда

.

Теперь запишем решение методом Эйлера:

или .

Это общее уравнение приближенного решения. Для метода Рунге-Кутты запишем:

;

;

;

;

;

.

Подставив значения постоянных величин, получим:

.

Составим расчетную таблицу 28.

Таблица 28 - Расчетная таблица решения уравнения

		0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9	1, 0
		1, 105	1, 221	1, 350	1, 492	1, 649	1, 825	2, 014	2, 224	2, 460	2, 718
		1, 100	1, 211	1, 333	1, 468	1, 617	1, 782	1, 964	2, 165	2, 388	2, 634
		1, 112	1, 245	1, 387	1, 544	1, 717	1, 908	2, 120	2, 354	2, 613	2, 899

Сравнивая результаты приближенных вычислений с точными данными, видим, что методы Эйлера и Рунге-Кутты соотносятся следующим образом:

.