![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение:
которое связывает независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производные вплоть до п -го порядка. Порядком ОДУ называется порядок старшей производной от искомой функции. Различают линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Например, линейное уравнение: и нелинейное
Так как элементами дифференциального уравнения являются производные функции у(х), которая и будет решением уравнения, то вполне очевиден основной принцип решения – интегрирование уравнения. Например, наиболее простая форма уравнения
Разделяем переменные: Интегрируем обе чести:
Напомним, что C=const и носит название постоянной интегрирования. Таким образом, конечное уравнение Рисунок 25 - Графическая интерпретация решения уравнения
Чтобы выбрать из множества возможных решений необходимое (т.е. однозначно определить решение), необходимо задать координаты хотя бы одной точки на графике
отсюда
В результате получим окончательное решение:
Общим интегралом дифференциального уравнения п -го порядка называют функцию Как было показано выше, для определения постоянных надо задать дополнительные условия. Их число должно быть равно числу постоянных интегрирования (т.е. п – порядку дифференциального уравнения). После их определения получаем частное решение Актуальность задачи Коши для многих областей науки и техники явилась причиной разработки для ее решения большого количества методов. Они могут быть подразделены на две группы численных методов решения задачи Коши: - одношаговые методы - для нахождения решения в некоторой точке отрезка используется информация только в одной предыдущей точке (к ним относятся методы Эйлера и Рунге-Кутты); - многошаговые методы – для отыскания решения в некоторой точке используется информация о решении в нескольких предыдущих точках (методы Адамса).
|