Дифференциального уравнения

Рассмотрим простое ОДУ типа при следующих начальных условиях: при ; . Запишем исходное уравнение в дифференциальной форме:

или .

Проинтегрируем обе части уравнения и получим:

.

Постоянную интегрирования определим из начальных условий:

; .

Тогда частное решение ОДУ будет иметь вид:

.

Очевидно, что в скобках будет стоять определенное число, т.е.

.

Изобразим графически исходные данные и полученное решение (рисунок 26).

Рисунок 26 - Графическая интерпретация решения дифференциального уравнения

Первичное дифференциальное уравнение описывает прямую линию, выходящую из начала координат с угловым коэффициентом , т.е. . Предположим, что решение этого уравнения . Если оно найдено в общем виде, то это множество эквидистантных кривых второго порядка, которые могут быть построены в системе координат . Решение конкретизируется в виде той кривой, которая пройдет через точку М с координатами .

Из курса математического анализа известно, что или . Иначе, первичное ОДУ описывает закономерность изменения тангенса угла наклона касательной к кривой искомой функции в заданной точке. Тогда задача Коши сводится к следующей графической интерпретации: найти такую функцию , для которой известно, что тангенс угла наклона касательной к графику этой функции изменяется по закону . Ситуация будет полностью определена для точки начального условия. Действительно, если ; , то получаем тождество:

или .

Что касается определения координат соседней точки N, то задача становится полностью неопределимой, так как для нее будет известно направление касательной , но не будет известно , так как сама функция неизвестна. Решение этой неопределенности и является основной целью численных методов решения ОДУ.