Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция y=f(x) непрерывна " х, и , то для любого функция интегрируема на сегменте .

Если существует конечный предел , то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции f(x) и обозначают символом . В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существуе т или расходится.

По определению имеем

= .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае .

Если f(x) не ограничена при приближении х справа к точке а, то

= .

Если же функция f(x) не ограничена в некоторой внутренней точке с сегмента [ a, b ] и функция f(x) не ограничена в любой окрестности точки с, то

= + .

Таким образом, из определений непосредственно видно, что несобственный интеграл от неограниченной функции является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Подынтегральная функция не ограничена в точке х = 1. Поэтому рассмотрим отдельно интегралы и Оба интеграла расходятся, так как

.

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Практическое занятие 12

1 Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе координат.

Если на сегменте [a, b] непрерывная функция f(x) ³, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Oх и прямыми х = а и x = b, равна определенному интегралу

.

В общем случае, если фигура, представляет собой часть плоскости, ограниченной непрерывными кривыми , , () и двумя отрезками прямых x = a, x = b (отрезки прямых могут вырождаться в точку), то площадь такой фигуры можно представить в виде суммы и (или) разности площадей криволинейных трапеций.

у

S

О a b x

Для вычисления площади такой фигуры будем иметь формулу

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Сделаем схематический чертеж. Построим данные линии.

у

1 х

Пусть кривая, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями причем . Тогда площадь фигуры D может быть вычислена по формуле

Вычисление площади в полярной системе координат.

Пусть плоская фигура D расположена в полярной системе координат и представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой и отрезками лучей j = a и j = b. Отрезки лучей могут вырождаться в точку. Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Решение. Область определения функции будет