Вычисление объемов тел вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси О х криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = b, графиком функции y = f(x) и отрезком оси Ох, вычисляется по формуле

Объем тела, образованного вращение вокруг оси О у криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с, у = d, графиком функции x = φ (y) и отрезком оси О y, вычисляется по формуле

Пример. Эллипс, большая ось которого равна 2 а, малая – 2 b (а > b), вращается: 1) вокруг оси О х; 2) вокруг оси О у. Найти объем получившегося эллипсоида вращения. В частном случае определить объем шара.

Решение. Найдем объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси О х. Напишем уравнение эллипса

Из уравнения эллипса найдем . Учитывая, что эллипс пересекается с осью О х в точках х = а и х = - а, найдем объем тела

Найдем объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси О у. Аналогично получаем,

и

Тогда

Частный случай эллипсоида вращения, когда a = b, есть шар. Таким образом, объем шара , где а – радиус шара.