![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Характеристичну розподілу ймовірностей
До функціональних характеристик випадкових процесів відносяться наступні: Коваріаційна та кореляційна функції випадкових процесів характеризують загальну залежність значень процесу у деякий певний момент часу від його значень в інший. ОЗНАЧЕННЯ 3.6. Коваріацією (або автоковаріацією) гільбертового випадкового процесу
Зауважимо, що коваріація співпадає зі скалярним добутком випадкових величин Якщо випадковий процес є дійсним, то формула (3.8) набуває вигляду
ОЗНАЧЕННЯ 3.7. Кореляційною (або автокореляційною) функцією гільбертового випадкового процесу
Між кореляційною та коваріаційною функціями має місце наступний зв'язок:
Зауважимо, що для дійсного випадкового процесу
ОЗНАЧЕННЯ 3.8. Взаємною коваріаційною функцією двох гільбертових випадкових процесів
Аналогічно визначається і взаємна кореляційна функція двох процесів.
ОЗНАЧЕННЯ 3.9. Взаємною кореляційною функцією двох гільбертових випадкових процесів
де
Кореляційна функція фізичного процесу застосовується насамперед для дослідження залежності значень процесу в даний момент часу від певних значень цього процесу у минулому. Кореляційна функція гармонійного коливання або будь-якого іншого детермінованого процесу, власно кажучи, відмінна від нуля при всіх значеннях аргументу, тоді як кореляційна функція випадкового процесу при великих значеннях зсуву прямує до нуля (якщо Спектральна щільність потужності випадкового процесу описує загальну частотну структуру цього процесу через спектральну щільність середнього значення квадрату його значень. Середнє значення квадрату значень реалізації в інтервалі частот від
В останньому співвідношенні
На основі останнього співвідношення можна сформулювати наступне означення. ОЗНАЧЕННЯ 3.10. Спектральною щільністю потужності випадкового процесу
Слід зазначити, що величина Важлива властивість спектральної щільності потужності полягає у її зв’язку з автокореляційною функцією. Зокрема, для стаціонарного процесу ці функції зв’язані перетворенням Фур’є
Перехід до останнього виразу можливий тому, що Середнє значення функції
де 0- та 0+ означають, що нижня межа інтегрування береться зліва, а верхня – справа. Інакше, середнє значення функції Повні ймовірнісні характеристики досліджуваного випадкового процесу Щільність та функція розподілу ймовірностей надають можливість одержати повне вирішення будь-якої ймовірнісної задачі. Щільність розподілу ймовірностей випадкового процесу
Рис. 3.4 можна записати наступним чином
ОЗНАЧЕННЯ 3.11. Одновимірною щільністю розподілу ймовірностей називається функція
або більш строго
Щільність розподілу ОЗНАЧЕННЯ 3.12. Функція
Функція розподілу
Функція розподілу
Середнє значення функції
тобто, середнє значення рівне зваженій сумі всіх значень процесу Аналогічно дисперсія процесу
Іноді Значення функції Характеристична функція випадкового процесу ОЗНАЧЕННЯ 3.13. Характеристичною функцією випадкового процесу
де ЗАУВАЖЕННЯ. Символ Для неперервного випадкового процесу (3.27) набуває вигляд
де
Якщо в
Якщо
У випадку, коли існує
Слід зазначити, що завдання характеристичної функції в комплексній площині дещо ускладнює її практичне застосування для опису випадкового процесу
Контрольні запитання 1. Дати означення фізичних і математичних моделей. 2. В залежності від постановки задачі досліджень використовуються різні моделі сигналів: фізичні, математичні. Що в таких моделях сигналів спільного і чим вони відрізняються? 3. Навести означення випадкового процесу і його реалізації. 4. Як задати випадковий процес? В якій мірі описує цей процес його скінченновимірна послідовність функцій розподілу, які основні властивості такої послідовності? 5. Навести узагальнену класифікацію випадкових процесів, базуючись як на характерних властивостях самих процесів так і на характеристиках цих процесів. 6. Які випадкові процеси називаються стаціонарними? 7. Записати аналітичні вирази для математичного сподівання і кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу. 8. Дати означення ергодичного випадкового процесу. 9. Яка основна особливість математичного сподівання та автокореляційної функції ергодичного випадкового процесу? 10. Які задачі розв’язуються в рамках кореляційної (енергетичної) теорії випадкових процесів. 11. Навести основні числові і функціональні характеристики випадкових процесів. 12. Записати аналітичні вирази для математичного сподівання і дисперсії випадкового процесу. 13. Привести означення коваріаційної функції випадкового процесу. 14. Навести означення для кореляційної функції випадкового процесу. 15. Записати аналітичний вираз, що характеризує зв’язок між коваріаційною і кореляційною функцією випадкового процесу. 16. Що характеризують коваріаційна і кореляційна функції у дійсному випадковому процесі? 17. Пояснити практичне застосування кореляційної функції при дослідженні дійсного випадкового процесу. 18. Навести означення спектральної щільності потужності випадкового процесу. 19. Дати визначення щільності розподілу випадкового процесу. 20. Навести означення та властивості функції розподілу 21. Привести означення та властивості щільності розподілу ймовірностей 22. Як визначити функцію розподілу 23. Дати означення характеристичної функції випадкового процесу. 24. Як пов’язані між собою функція, щільність та характеристична функції розподілу ймовірностей випадкового процесу?
|