Моделі стаціонарних процесів з неперервним часом.

Моделі фізичних процесів з неперервним і дискретним часом. Статистичне оцінювання

Моделі стаціонарних процесів з неперервним часом. Моделі фізичних процесів із дискретним часом. Статистичне оцінювання характеристик випадкових процесів. Часовий ряд

Моделі стаціонарних процесів з неперервним часом.

Основні пояснення, узагальнені означення стосовно моделей стаціонарних випадкових процесів було зроблено у підрозділі 3.4 (лекція 3). У цьому підрозділі докладно зупинимось на розгляді більш строгих у математичному плані означень, що стосуються стаціонарних випадкових процесів з неперервним часом. Наведені далі означення стосуються безпосередньо стаціонарних випадкових процесі з кінцевою потужністю, які застосовуються у системах, що реалізуються фізично. Такі процеси описуються математичними моделями гільбертових випадкових процесів. Розглянемо докладніше основні означення, що стосуються вказаних процесів

ОЗНАЧЕННЯ 4.1. Гільбертів процес , або , називається слабо стаціонарним (стаціонарним у широкому розумінні або стаціонарним за О.Я.Хінчиним, іноді стаціонарним другого порядку), якщо його перші два моменти не залежать від початку відліку процесу, тобто коли

(4.1)

Для такого процесу кореляційна функція залежить лише від різниці двох моментів часу.

ОЗНАЧЕННЯ 4.2. Процес називається стаціонарним (у вузькому сенсі), коли послідовність його скінченновимірних функцій розподілу не залежить від початку відліку процесу в часі, тобто коли при довільних таких, що незалежно від маємо

. (4.2)

Для стаціонарних у вузькому сенсі процесів математичне сподівання є постійною величиною, а кореляційна (автокореляційна) функція залежить лише від різниці аргументів, тобто процес, стаціонарний у вузькому розумінні, завжди є також слабо стаціонарним, коли він гільбертів. Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Виняток становлять дійсні гауссівські гільбертові процеси. (Для комплексних гауссівських процесів обернене твердження також не має місця).

ОЗНАЧЕННЯ 4.3. Слабо стаціонарні випадкові процеси і - піввісь або вся вісь, називають стаціонарно зв'язаними, коли їх взаємна коваріаційна функція

,

тобто залежить лише від різниці аргументів

Із цього означення випливає, що і для стаціонарно зв'язаних процесів кореляційна функція

також залежить тільки від різниці двох моментів часу

Випадковий вектор називається слабо стаціонарним, коли всі його компоненти стаціонарно зв'язані (а значить і слабо стаціонарні).

Позначимо через нормовану кореляційну функцію стаціонарного процесу, тобто

.

Оскільки то .

Має місце наступна теорема.

ТЕОРЕМАХІНЧИНА. Для того, щоб функція , являла собою нормовану кореляційну функцію деякого дійсного слабо стаціонарного гільбертового випадкового процесу , що задовольняє умові

,

необхідно і достатньо, щоб її можна було подати у вигляді

(4.3)

де - деяка функція розподілу при , яку називають спектральною функцією.

Останнє означає, що задовольняє всім властивостям функції розподілу, визначеним згідно з (3.22)(лекція 3), а при цьому можна розглядати як характеристичну функцію для .

А.Я.Хінчин опублікував своє доведення цієї теореми в 1934 році в роботі " Korrelation Theorie der stationaren stochastischen Prozesse", Math. Ann. Bd. 190. H. J. p.p 604-615.

Функція - дійсна, невід'ємна, обмежена , неперервна “зліва”, її числові значення являють собою ту частину середньої потужності флуктуацій процесу , яка припадає на частоти, що не перевищують фіксованої частоти .

Функція може бути розкладена на дві адитивні компоненти (в загальному випадку - на три):

,

де - кусково-постійна, так звана функція стрибків, яка характеризує собою дискретний спектр процесу (його майже періодична складова), неперервна (точніше, абсолютно неперервна) функція, яка характеризує собою неперервний спектр процесу (див. рис. 4.1).

Рис. 4.1

Відповідно до цього і може бути розкладена на дві адитивні компоненти. Процес також можна представити у вигляді відповідних двох компонент, одна з яких має чисто розривну, кусково-постійну спектральну функцію (майже періодична компонента), а друга - неперервну спектральну функцію. Ці дві компоненти не обов'язково одночасно існують.

Якщо , тобто коли спектральна функція і є диференційованою, то її похідна називається спектральною щільністю потужності (більш точно, коли абсолютно неперервна, тоді . У цьому випадку спектральна щільність потужності визначається як косинус-перетворення Фур'є від кореляційної функції:

. (4.4)

Розмірність - потужність на Гц.

Критерієм, що забезпечує коректність застосування (тобто існування спектральної щільності) останньої формули (4.4), може бути існування інтегралу