Екстремум функціоналу

Відстанню нульового порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні на відрізку .

Відстанню першого порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні разом зі своїми першими похідними на відрізку .

Приклад 2. Знайти відстань першого порядку між кривими і на відріз­ку .

Розв'язання.

Розглянемо функції і . Знайдемо їх найбільші та найменші значення на відрізку :

Тоді

Нехай D ₁ — деякий клас функцій порівняння (підмножина області визначення D) функціоналу . Функціонал має в цьому класі D ₁ абсолютний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції виконується рівність .

Функціонал має в класі D ₁ локальний або відносний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції , яка близька до функції , виконується рівність

Максимуми і мінімуми називаються екстремумами.

Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані нульового порядку, тобто , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається сильним.

Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані першого порядку, тобто , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається слабким.

На рис. 1 зображені лінії, близькі в смислі відстані нульового порядку (координати їх близькі, а напрямки дотичних можуть суттєво відрізнятись), а на рис. 2 наведені криві, близькі в смислі відстані першого порядку (близькі не тільки їх координати, а і напрямки дотичних).

Рис.1 Рис.2

Абсолютний екстремум тим паче є відносним екстремумом. Обернене твердження, в загальному випадку, невірне.

Сильний відносний екстремум тим паче є слабким екстремумом. Обернене твердження, в загальному випадку, невірне.

Надалі будемо розглядати слабкий відносний екстремум і слова " слабкий", " відносний" будемо опускати.

Основною задачею варіаційного числення є дослідження функціоналу на екстремум. Такі задачі надалі називатимемо варіаційними.