Від кількох функцій (система рівнянь

Ейлера-Лагранжа)

Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу

при крайових умовах

Із необхідної умови екстремуму при і випливає, що допустимі екстремалі є розв'язками системи диференціальних рівнянь

при крайових умовах

Розв'язки останньої диференціальної системи називаються екстремалями, а сама система — системою диференціальних рівнянь екстремалей або системою рівнянь Ейлера-Лагранжа.

Приклад 9. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):

а)

б)

Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:

Тоді система рівнянь Ейлера-Лагранжа

набуває вигляду:

Розв'яжемо останню систему:

Конкретні значення довільних сталих знайдемо з крайових умов:

Отже, допустимі екстремалі:

б) Знайдемо похідні, що входять в систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:

Тоді система рівнянь Ейлера-Лагранжа

набуває вигляду:

Розв'яжемо останню систему зведенням до одного диференціального рівняння вищого порядку:

Використавши крайові умови, знайдемо :

Отже, допустимі екстремалі: