Канонічні рівняння екстремалей

Розглянемо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа

Позначимо Функції називаються канонічними змінними для функціоналу

При цьому змінні і називаються спряженими. Введемо так звану функцію Гамільтона (гамільтоніан)

Знайдемо частині похідні гамільтоніана H по та :

Оскільки а з системи рівнянь Ейлера-Лагранжа то мають місце співвідношення:

Одержана система називається канонічною системою рівнянь екстремалей для функціоналу

Задачі для самостійної роботи

1. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють заданим крайовим умовам (допустимі екстремалі):

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21.

2. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):

2.1.

2.2.

2.3.

3. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.