Функціоналу, в який входять похідні вищих

порядків (рівняння Ейлера-Пуассона)

Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу

при крайових умовах

Із необхідної умови екстремуму при і випливає, що допустимі екстремалі є розв'язками диференціального рівняння при крайових умовах

Розв'язки останнього диференціального рівняння називаються екстремалями, а саме рівняння називається диференціальним рівнянням екстремалей або рівнянням Ейлера-Пуассона.

Приклад 8. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):

а)

б)

в)

Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:

Тоді рівняння Ейлера-Пуассона набуває вигляду:

Розв'яжемо одержане рівняння:

— екстремалі, де — довільні сталі.

Допустимі екстремалі знайдемо, визначивши конкретні значення із крайових умов:

Отже, допустима екстремаль

б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:

Тоді рівняння Ейлера-Пуассона

набуває вигляду

Розв'яжемо останнє рівняння:

— екстремалі.

Конкретні значення знайдемо з крайових умов:

Отже, допустима екстремаль

в) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:

Тоді рівняння Ейлера-Пуассона

набуває вигляду

Розв'яжемо останнє рівняння:

— екстремалі, де — довільні сталі.

Використавши крайові умови, знайдемо значення .

Спочатку із крайових умов визначаємо .

Тоді на основі крайових умов одержуємо систему для знаходження :

Отже, допустима екстремаль