З закріпленими кінцями. Диференціальне

рівняння екстремалей (рівняння Ейлера)

Знайти мінімум (максимум) функціоналу при крайових умовах ; серед неперервно диференційованих на відрізку функцій у, де — відомі числа.

Оскільки в даній задачі всі допустимі криві, серед яких шукається та, що доставляє екстремум функціоналу, проходять через дві різні нерухомі точки і , то поставлена задача називається варіаційною задачею з закріпленими кінцями.

Теорема. Допустимі екстремалі функціоналу з закріпленими кінцями ; , визначаються як розв ' язки диференціального рівняння при крайових умовах ; .

Диференціальне рівняння другого порядку називається рівнянням Ейлера. Розв'язки рівняння Ейлера називаються екстремалями, а само рівняння Ейлера — диференціальним рівнянням екстремалей.

Таким чином, в даній задачі допустимі екстремалі виділяються зі всіх екстремалей врахуванням крайових умов.

Доведення. Необхідна умова екстремуму, з якої знаходяться екстремалі, має вигляд . Оскільки ця умова повинна виконуватись для будь-якої варіації функції , то при закріплених кінцях повинні справджуватись рівності .

Виразимо варіацію функціоналу через функцію та її похідні:

де

До другого доданка останньої рівності застосуємо інтегрування частинами:

оскільки dу(х₁)=0, dу(х₂)=0.

Тоді варіацію функціоналу можна подати у вигляді

На екстремалі варіація функціоналу повинна дорівнювати нулю:

причому для довільної варіації функції dу такої, що dу(х₁)=0, dу(х₂)=0. Це можливо лише за умови, що вираз в дужках під знаком інтеграла дорівнює нулю для всіх х із відрізка [х₁; х₂]:

Приклад 5. Знайти екстремалі функціоналу:

а)

б) де а=const, a> 0.

Розв'язання. а)Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду: 2-(-2+2у'')=0; y''+2=0.

Розв'яжемо одержане рівняння:

Отже, екстремалями служать функції:

де С₁ і С₂ — довільні сталі.

б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду 2a²y-2y''=0; y''-a²y=0.

Розв'яжемо одержане рівняння:

— шукані екстремалі, де С₁, С₂ — довільні сталі.

Приклад 6. Знайти екстремалі функціоналу, що задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):

а)

б)

в)

г)

Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду

18у-(-2y'')=0; y''+9y=0.

Розв'яжемо одержане рівняння:

к²+9=0; к_{1, 2}=±3і.

Екстремалями служать функції

y=C₁cos0+C₂sin0,

де C₁, C₂ — довільні сталі.

Знайдемо конкретні значення C₁ і C₂ із крайових умов:

Отже, допустима екстремаль

y=2cos3x.

б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:

.

Розв'яжемо одержане рівняння:

— екстремалі,

де C₁ і C₂ — довільні сталі.

Крайові умови дають систему алгебраїчних рівнянь для знаходження C₁ і C₂:

З останньої рівності випливає, що С₂ може набувати довільних значень. Значить, допустимими екстремалями служать функції

y=C₂sinx+xsinx,

де C₂ — довільна стала.

Таким чином, варіаційна задача має нескінченну множину розв'язків.

в) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:

Розв'яжемо одержане рівняння:

f₁(x)=4e^-x; y_*1=Axe^-x; y'_*1=Ae^-x-Axe^-x;

y''_*1=-Ae^-x-Ae^-x+Axe^-x=Axe^-x-2Ae^-x;

Axe^-x-2Ae^-x-Axe^-x=4e^-x; -2A=4; A=-2;

y_*1=-2xe^-x ; f₂(x)=12e^2x ; y_*2=Ae^2x ; y'_*2=2Ae^2x;

y''_*2=4Ae^2x ; 4Ae^2x-Ae^2x=12e^2x; 3A=12; A=4;

y_*2=4e^2x ; y_*=y_*1+y_*2=-2xe^-x+4e^2x ;

— екстремалі,

де C₁, C₂ — довільні сталі.

Використаємо крайові умови для знаходження C₁ і C₂:

Отже, допустима екстремаль

г) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду: Звідси

Отже, або в неявній формі - рівняння екстремалей.

Як бачимо, екстремалями служить сім'я кіл.

Використовуючи крайові умови, знаходимо C₁ і C₂:

Тоді x²+y² =1 —допустима екстремаль.

Приклад 7. Визначити форму твердого тіла, що рухається в потоці газу з найменшим опором. Вважати шукане тіло тілом обертання.

Розв'язання. З фізичних міркувань випливає, що задача зводиться до мінімізації сили опору

при крайових умовах у(0)=0; у(l)=R,

де r — густина газу, v —швидкість газу відносно тіла.

Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:

Ясно, що у¹ const, тоді y'¹ 0. Останнє рівняння спрощується: 3yy''+(y')²=0.

Розв'яжемо одержане рівняння:

— екстремалі, де C₁, C₂ — довільні сталі.

Використавши крайові умови, знайдемо C₁ і C₂:

Тоді — допустима екстремаль.

Оскільки допустима екстремаль єдина і з фізичних міркувань випливає, що поставлена задача має розв'язок, то функція визначає форму тіла обертання з найменшим опором.