Функціоналу

Як відомо, необхідна умова екстремуму функції полягає в рівності нулю її диференціала. Аналогічно, для функціоналу справедлива теорема (необхідна умова екстремуму в варіаційній формі):

Якщо функціонал має варіацію і досягає на деякій функції екстремуму, то його варіація на цій функції дорівнює нулю:

Доведення. Розглянемо однопараметричну сім'ю функцій у₀+adу, де a — деяке число. На вказаній сім'ї функцій функціонал є функцією параметра a: , яка згідно з умовою теореми має екстремум при a= 0.

У відповідності з необхідною умовою екстремуму функції маємо , тобто . Згідно з другим означенням вказана похідна є варіацією функціоналу . Отже,

Функції, на яких варіація функціоналу існує і дорівнює нулю, називаються стаціонарними функціями або допустимими екстремалями.