Класичні задачі варіаційного числення

Задача про максимальну швидкодію (задача про брахістохрону).

Однією з перших задач варіаційного числення була задача Івана Бернуллі про брахістохрону (1696 р.). У вертикальній площині задано дві точки і (рис.3). Необхідно знайти таку криву, яка сполучає ці точки, що матеріальна точка, рухаючись по ній під дією сили тяжіння з точки A без початкової швидкості досягне точки B за найменший проміжок часу.

Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій знайти таку, яка доставляє мінімум функціоналу

при крайових умовах

a b

Рис. 3.

Задача про геодезичні лінії. Нехай на поверхні задано дві точки і . Серед всіх ліній, які лежать на даній поверхні і з'єднують точки A і B, вибрати ту, дуга AB якої має найменшу довжину.

Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій параметра t знайти такі, які задовольняють рівняння зв'язку і доставляють мінімум функціоналу

при крайових умовах

Ізопериметрична задача (задача Дідо). Нехай на осі задано дві точки і . Серед всіх ліній заданої довжини , які з'єднують на площині ці точки і , вибрати таку, що разом з відрізком AB обмежує найбільшу площу (рис.4).

Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій вибрати таку, яка задовольняє рівняння зв'язку і доставляє максимум функціоналу при крайових умовах

Рис. 4.