Умовний екстремум. Задача Лагранжа. Ізопериметрична задача

Варіаційною задачею на умовний екстремум називається задача дослідження на екстремум функціоналу, коли на функції, від вибору яких залежить цей функціонал, крім крайових, накладено інші додаткові умови, що звуться зв'язками.

В залежності від їх характеру зв'язки поділяються на: а) алгебраїчні або скінченні (голономні); б) диференціальні або неголономні; в) інтергральні або ізопериметричні.

За допомогою методу множників Лагранжа задачі на умовний екстремум зводяться до задач на безумовний екстремум.

Задача Лагранжа: знайти функції які доставляють мінімум (максимум) функціоналу

і задовольняють рівняння зв'язку

а також крайові умови

Припускається, що рівняння зв'язку незалежні, а крайові умови їх задовольняють.

Теорема. Якщо функції є допустимими екстремалями cформульованої задачі Лагранжа, то існують такі функції (множники Лагранжа), що функції служать безумовними допустимими екстремалями для допоміжного функціоналу

де — допоміжна функція (функція Лагранжа).

Правило. Згідно з наведеною теоремою для знаходження допустимих екстремалей задачі Лагранжа необхідно:

1. Скласти функцію Лагранжа і відповідний допоміжний функціонал з невизначеними функціями — множниками Лагранжа.

2. Скласти систему рівнянь Ейлера-Лагранжа для допоміжного функціоналу:

приєднати до неї рівняння зв'язку

і з одержаної об'єднаної системи знайти екстремалі , де — довільні сталі, а також, якщо потрібно, множники Лагранжа .

3. Використовуючи крайові умови, знайти конкретні значення і допустимі екстремалі.

Приклад 11. Знайти екстремалі функціоналу

на зв'язку при крайових умовах

Розв'язання. Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:

Складемо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:

Враховуючи рівняння зв'язку, маємо систему:

Розв'яжемо цю систему зведенням до диференціального рівняння вищого порядку:

Отже, екстремалями служать функції:

Знайдемо значення і із крайових умов:

Отже, допустимі екстремалі

Приклад 12. Знайти геодезичну лінію, яка сполучає дві задані точки і поверхні . Знайти її довжину.

Розв'язання. Геодезична лінія — це найкоротша лінія, яка лежить на даній поверхні і сполучає дві дані точки. Нехай шукана лінія визначається рівняннями . Тоді — крайові умови; — рівняння зв'язку; — функціонал (довжина дуги ), мінімум якого треба знайти.

Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:

Складемо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:

Вилучивши з останньої системи , одержимо:

Продиференціювавши рівняння зв'язку, маємо:

Звідси Тоді

Після спрощення маємо Тоді

З рівняння зв'язку Тоді

Отже, — екстре­малі.

Використавши крайові умови, знайдемо і :

Отже, допустимі екстремалі:

Таким чином, геодезична лінія визначається рівняннями .

Знайдемо її довжину:

Найпростіша ізопериметрична задача: знайти функцію , яка доставляє мінімум (максимум) функціоналу

і задовольняє інтегральне рівняння зв'язку

а також крайові умови

Теорема. Якщо функція є допустимою екстремаллю сформульованої ізопериметричної задачі, то існує таке стале число (множник Лагранжа), що функція служить безумовною допустимою екстремаллю допоміжного функціоналу

де — допоміжна функція (функція Лагранжа).

Принцип взаємності: Сукупність умовних екстремалей не залежить від того, чи шукати екстремум функціоналу при фіксованому значенні чи, навпаки, шукати екстремум при фіксованому значенні .

Зазначимо, що, на відміну від алгебраїчних чи диференціальних, інтегральні зв'язки не накладають жорстких обмежень на шукані функції, бо з них не можна виразити одні з функцій через інші. Тому число ізопериметричних умов не обов'язково повинно бути меншим числа шуканих функцій.

Приклад 13. Знайти екстремалі функціоналу

при крайових умовах та ізопериметричному зв'язку

Розв'язання. Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:

Складемо рівняння Ейлера:

Звідси

Використаємо крайові умови:

З ізопериметричної умови маємо:

Отже, допустима екстремаль:

Приклад 14. Знайти екстремалі функціоналу

при крайових умовах та ізопериметричному зв'язку

Розв'язання. Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:

Складемо рівняння Ейлера:

Розв'яжемо останнє рівняння:

1. Якщо , то . З крайових умов випливає: Але функція не задовольняє інтегральне рівняння зв'язку. Отже, в цьому випадку допустима екстремаль не існує.

2. Якщо , то . З крайових умов випливає: . Як було зазначено вище, функція не задовольняє ізопериметричній умові. Допустимої екстремалі немає.

3. Якщо , то . З крайової умови маємо Оскільки то звідси Отже, Використаємо інтегральне рівняння зв'язку: Отже, — допустимі екстремалі.

Приклад15. Серед всіх плоских кривих заданої довжини , що сполучають дві задані точки і знайти таку, в якої ордината центра мас найменша. Для знайденої кривої обчислити ординату центра мас .

Розв'язання. Задача полягає в мінімізації функціоналу

при крайових умовах та ізопериметричному зв'язку

Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:

Складемо рівняння Ейлера:

Розв'яжемо останнє рівняння за допомогою зниження порядку:

Спростимо останній вираз, поклавши . Тоді ; ; .

Отже, Тоді — екстремалі (сім'я ланцюгових ліній).

З крайових умов маємо:

Оскільки , то з останнього рівняння випли­ває: Тоді

Рівняння зв'язку набуває вигляду: .

Звідси . Отже, допустима екстремаль

.

З фізичного змісту задачі випливає, що мінімум функціоналу існує. Оскільки допустима екстремаль єдина, то на ній і досягається мінімум. Знайдемо шукану ординату центра мас :