Умови трансверсальності

Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу серед неперервно диференційовних на відрізку функцій , якщо крайові умови не задані, але відомо, що точки і лежать відповідно на заданих лініях і , причому числа і також підлягають визначенню.

Сформульована задача називається варіаційною задачею з рухомими кінцями.

У даному випадку клас допустимих функцій, на яких шукається екстремум функціоналу, розширюється порівняно з ситуацією закріплених кінців, бо крім кривих порівняння, що мають спільні межові точки з досліджуваною кривою, можна брати криві зі зміщеними кінцевими точками. Це означає, що коли на якій-небудь функції функціонал досягає екстремуму в задачі з рухомими кінцями, то екстремум тим паче досягається по відношенню до більш вузького класу кривих, які мають спільні межові точки з кривою , а, отже, функція повинна бути розв'язком рівняння Ейлера

.

Загальний розв'язок рівняння Ейлера включає дві довільні сталі. Конкретні значення довільних сталих знаходяться при закріплених кінцях із крайових умов, а при рухомих — із додаткових умов, які називаються умовами трансверсальності і мають вигляд:

Часто числа і задані, і точки і можуть переміщатися тільки вздовж вертикальних прямих відповідно і . Тоді умови трансверсальності набувають вигляду:

і називаються природними крайовими умовами.

Розглянемо виведення природних крайових умов. Варіація функціоналу визначається рівністю (п.2.2):

До другого доданка застосуємо метод інтегрування частинами (як в п.2.2) і одержимо:

.

На екстремалі перший доданок останньої рівності дорівнює нулю, і з необхідної умови екстремуму випливає:

Оскільки — довільна варіація і на кінцях може набувати будь-яких значень, то рівність варіації функціоналу нулю можлива у випадку

Якщо , то умова трансверсальності, наприклад, для лівого кінця має вигляд: або .

Якщо , то або . Останнє співвідношення є умовою перпендикулярності шуканої кривої, що доставляє екстремум функціоналу, і заданої лінії . Таким чином, поняття трансверсальності є деяким узагальненням поняття ортогональності.

Правило знаходження допустимих екстремалей варіаційної задачі з рухомими кінцями:

1. Скласти рівняння Ейлера , розв'язати його і знайти екстремалі .

2. Скласти систему алгебраїчних рівнянь для знаходження конкретних значень довільних сталих і тих чисел з пари і , які невідомі. Для цього використати крайові умови, якщо на відповідному кінці вони задані, або природні крайові умови чи, в загальному випадку, умови трансверсальності разом з тими рівняннями перетину шуканої допустимої екстремалі з даними лініями , , які відповідають невідомим числам з пари і :

.

3. Розв'язати одержану систему і знайти допустиму екстремаль.

Приклад 16. Знайти криву, на якій реалізується мінімум функціоналу при умові, що її лівий кінець розміщений в точці , а правий кінець — на прямій . Обчислити мінімальне значення функціоналу.

Розв'язання. Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

.

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду: .

Розв'яжемо це рівняння:

— екстремалі.

Допустима екстремаль повинна проходити через точку , тобто на лівому кінці задана крайова умова .

Звідси .

Правий кінець допустимої екстремалі ковзає по вертикальній прямій . Отже, там повинна виконуватись природна крайова умова

Підставивши в останній вираз похідну , одержимо:

Отже, допустима екстремаль .

Оскільки при , то згідно з посиленими достатніми умовами Лежандра на даній єдиній допустимій екстремалі реалізується мінімум функціоналу. Знайдемо його значення:

Приклад 17. Знайти найкоротшу відстань від точки до верхньої половини еліпса .

Розв'язання. Мова йде про мінімізацію функціоналу (довжини дуги)

при умові, що лівий кінець закріплений в точці , тобто , а правий — переміщується по верхній половині еліпса, тобто, .

Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:

Звідси — екстремалі.

На правому кінці повинна виконуватись умова трансверсальності

Приєднавши до останнього співвідношення рівняння перетину екстремалі з еліпсом і крайову умову на лівому кінці, одержимо систему:

Розв'язавши її, знаходимо

.

Отже, допустима екстремаль . Оскільки згідно з геометричним змістом задачі функціонал має мінімум і допустима екстремаль єдина, то вона й реалізує мінімум. Знайдемо його значення:

Отже, найкоротша відстань дорівнює .

Приклад 18. Знайти найкоротшу відстань між параболою і прямою .

Розв'язання. Задача полягає в мінімізації функціоналу (довжини дуги) при умові, що лівий кінець допустимої екстремалі може рухатись вздовж параболи , а правий — вздовж прямої .

Для цього функціоналу рівняння Ейлера має загальний розв'язок (приклад 17).

Оскільки

то умови трансвер­сальності

набувають вигляду:

Звідси .

Використавши рівняння перетину екстремалі з даними лініями і , знайдемо і :

Отже, допустима екстремаль .

Знайдемо відповідне значення функціоналу:

Оскільки згідно з геометричним змістом задачі функціонал має мінімум і допустима екстремаль єдина, то на ній і досягається мінімум. Отже, найкоротша відстань дорівнює .

Приклад 19. Знайти криву , яка доставляє максимум функціоналу при умові, що її лівий і правий кінці належать відповідно лініям і .

Розв'язання. Складемо рівняння Ейлера :

Знайдемо загальний розв'язок: — екстремалі.

Конкретні значення довільних сталих і знайдемо з умов трансверсальності

Отже, допустима екстремаль (шукана крива):