I. Независимость двух событий.

Опираясь на статистическое определение вероятности (п. 3.3), события и следует считать независимыми, если при большом числе испытаний наступления события не влияют на частоту наступления события :

,

или, в соответствии с определением условной относительной частоты (п. 3.6):

.

Поскольку, согласно эмпирическому закону больших чисел, относительные частоты при большом числе испытаний колеблются вокруг теоретических вероятностей, последнее равенство является основанием для следующего определения независимости событий:

Определение. События и называются независимыми, если вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:

. (14)

Формально, в соответствии с данным определением, для решения вопроса о независимости событий необходимо предварительно вычислить все три вероятности , после чего проверить, выполняется ли равенство (13). На практике, однако, независимость событий и устанавливают путем содержательного их анализа, а формулу (13) используют для отыскания вероятности произведения событий.

Таким образом, имеются две формы теоремы умножения:

1. Для произвольных событий:

.

2. Для независимых событий:

.

Пример. Испытание: одновременно бросаются две монеты. Найти вероятность события , состоящего в том, что на обеих монетах выпал герб.

Решение. Введем события: — на первой монете выпал герб,

— на второй монете выпал герб. Тогда . События и явно не влияют друг на друга, их следует считать независимыми. Тогда

.

Теорема (независимость для противоположных событий). Если события и независимы, то независимы также пары событий

и , и , и .

Доказательство. Докажем, например независимость событий и . По условию ; кроме того .

По свойствам операций над событиями (п. 2.3) имеем:

— сумма несовместных событий; отсюда

. ▄

Теорема (критерий независимости двух событий). Пусть . Для того, чтобы события и были независимы, необходимо и достаточно, чтобы условная вероятность события совпадала с его безусловной вероятностью: .

Доказательство. 1. Необходимость. Если и независимы, то выполняется равенство . С другой стороны, по теореме умножения . Отсюда:

.

Поскольку , получаем: .

2. Достаточность. Пусть . Тогда, применяя теорему умножения, получаем:

,

то есть, согласно определению, события и независимы. ▄

Теорема (о независимости от и ). Любое событие не зависит от достоверного события и от невозможного события.

Доказательство. 1. , так что и независимы.

2. , так что и независимы. ▄