Формула полной вероятности

Определение. События образуют полную группу, если выполняются два условия: 1)в результате испытания одно из них обязательно наступает, то есть их сумма есть достоверное событие: ; 2) события попарно несовместны, то есть при .

Теорема. Пусть выполняются два условия:

1. События («гипотезы») образуют полную группу.

2. События имеют ненулевые вероятности: .

Тогда для всякого события справедлива формула:

,

или в краткой записи:

. (19)

Замечания. 1. Формула (19) носит название формулы полной вероятности.

2. Второе условие теоремы обеспечивает существование условных вероятностей (см. п. 3.6).

Доказательство. По свойствам операций над событиями имеем:

— сумма попарно несовместных событий. Поэтому, применяя последовательно аксиому сложения и теорему умножения, получаем:

. ▄

Решение задач с применением формулы полной вероятности рекомендуется проводить по следующему плану:

1. Введение гипотез .

2. Проверка полноты и попарной несовместности гипотез.

3. Вычисление вероятностей гипотез (например, по схеме равновозможных исходов).

4. Вычисление условных вероятностей .

5. Применение формулы (19).

Пример. Испытание: В первой урне содержится белых и черных шаров, во второй — белых и черных шара; из первой урны наугад (не глядя) перекладывается один шар во вторую урну, после чего из второй урны наугад извлекается шар. Найти вероятность того, что будет извлечен белый шар.

Решение. Пусть событие состоит в том, что из второй урны извлечен белый шар. Введем события (гипотезы):

— из первой урны переложен белый шар;

— из первой урны переложен черный шар.

Эти гипотезы образуют полную группу и несовместны. Далее, по схеме равновозможных исходов: . Найдем условные вероятности. Если имела место гипотеза , то есть был переложен белый шар, то во второй урне стало белых и черных шара; поэтому . Если имела место гипотеза , то есть был переложен черный шар, то во второй урне стало белых и черных шаров; поэтому . По формуле полной вероятности получаем: .