Условная вероятность

Определение. Пусть при проведении испытаний число наступлений события (то есть события вместе с событием ) равно , причем наступило раз. Условной относительной частотой события при условии наступления события называется отношение .

Обозначение условной относительной частоты: . Таким образом, .

Смысл данного определения заключается в следующем. Если учитывать только те испытания, при которых наступало событие , то общее число испытаний уменьшается с до , а число успешных испытаний уменьшается по сравнению с и оказывается равным числу одновременных наступлений и .

Пример. Пусть после проведения испытаний событие наступило раз, событие — раз, а события и одновременно наступили раза (рис. 9). Тогда обычная, безусловная относительная частота , а условная относительная частота .

A A А A A

· · · · · · · · · ·

B B B B B B

Рис. 9.

Теорема. Для условной относительной частоты справедлива формула:

. (10)

Доказательство. Деля числитель и знаменатель на общее число прове-

дённых испытаний , получаем:

. ▄

Поскольку, в соответствии с эмпирическим законом больших чисел, относительные частоты при большом числе испытаний колеблются вокруг теоретических вероятностей, формула (10) для условной относительной частоты является основанием для следующего определения условной вероятности:

Определение. Пусть . Условной вероятностью события при условии наступления события называется отношение:

. (11)