Непосредственные следствия из аксиом

Теорема 1. Вероятность невозможного события равна нулю: .

Доказательство. По свойству операции сложения событий (п. 2.3) имеем: . Поскольку события и несовместны, то по аксиоме 3: . ▄

Теорема 2. Если событие влечет за собой событие , то :

.

Доказательство. По свойствам операций над событиями имеем:

. Поскольку события и несовместны, то , так как . ▄

Теорема 3. Вероятность случайного события не превосходит единицы:

.

Доказательство. Поскольку , то по предыдущей теореме . ▄

Теорема 4. Для вероятности противоположного события

.

Доказательство. По свойствам операций над событиями (п. 2.3):

. ▄

Теорема 5 (теорема сложения). Для любых двух событий и :

. (5)

Замечание. Геометрически это означает (рис. 8), что для вычисления площади объединения фигур и нужно из суммы их площадей вычесть площадь общей (заштрихованной) части, поскольку при сложении она учтена дважды.

Доказательство. По свойствам операций над событиями имеем:

– сумма попарно несовместных событий. (Геометрически это означает, что объединение фигур и состоит из трех частей: их общей части, той части , которая не пересекается с , и той части , которая не пересекается с ). Поэтому (аксиома 3):

. (6)

Далее, – сумма несовместных событий, так что , и

. (7)

Аналогично

. (8)

Подставляя (7) и (8) в (6), получаем:

. ▄

Замечание. Формула (5) вместе с третьей аксиомой дают две формы теоремы сложения:

1. Для произвольных событий:

.

2. Для несовместных событий:

.