Схема равновозможных исходов

Основным содержанием теории вероятностей как науки, ориентированной на приложения, является определение вероятностей одних, более сложных случайных событий по вероятностям других, более простых событий. Поэтому большое практическое значение имеют методы вычисления (или обоснованного назначения) этих исходных вероятностей.

Одним из возможных способов является проведение большого числа испытаний, после чего вероятность события полагается равной его относительной частоте («статистическое определение вероятности»):

,

где – число тех испытаний, при которых событие наступило.

Данный способ имеет ряд недостатков:

1. Такой подход применим только в случае, когда относительная частота с ростом проявляет устойчивость, колеблясь в небольшом диапазоне.

2. Заранее неизвестно, будет ли относительная частота с увеличением числа испытаний проявлять устойчивость. Неизвестно также, какой должна быть нижняя граница для , чтобы подобная устойчивость начала проявляться.

3. Осуществление отдельного испытания может быть связано с большими материальными затратами и техническими трудностями.

4. Значение вероятности не является однозначно определенным (даже при наличии устойчивости относительной частоты она все же может принимать в разных сериях из испытаний различные значения).

Альтернативой этому — статистическому — определению вероятности случайного события является ее вычисление по «схеме равновозможных исходов». Указанный метод применяется в ситуациях, когда условия испытания обладают по отношению к исходам известной симметрией. Последнее имеет, например, место при контроле качества массовой однородной продукции, проведении лотерей, жеребьевок, а также в других ситуациях «случайного», «справедливого» выбора.

Схема равновозможных исходов (или «классическое определение вероятности») основана на следующем утверждении: если событию благоприятствуют из равновозможных (равновероятных) исходов, попарно несовместных и в совокупности исчерпывающих все возможные исходы испытания, то для вероятности справедлива формула

. (9)

Таким образом, вероятность случайного события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Более точно это формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть события удовлетворяют трем условиям:

1) события попарно несовместны: при ;

2) события равновероятны: ;

3) в результате испытания одно из событий обязательно наступает: .

Тогда для вероятности события

() справедлива формула:

.

Доказательство. Убедимся сначала, что для любого имеет место равенство: . Действительно, ввиду попарной несовместности событий :

.

В силу условия 2 в последней сумме все слагаемые одинаковы, так что

.

Поэтому (сумма слагаемых, каждое из которых равно ). ▄