Теорема умножения

Теорема (умножения). Если , то есть существует условная вероятность , то для вероятности произведения событий справедлива формула:

. (12)

Доказательство. Достаточно в формуле (11) обе части равенства умножить на . ▄

Замечания. 1. Формально, в соответствии с определением (11) условной вероятности, для вычисления следует предварительно и независимо от нее найти и . На практике, однако, условную вероятность находят, исходя из анализа испытания, по схеме равновозможных исходов, а формулу (12) используют для вычисления вероятности произведения.

2. Если отличны от нуля обе вероятности и , то определены обе условные вероятности и . Тогда теорема умножения принимает вид:

. (13)

3. Для произведения трех событий теорема умножения дает:

,

или

.

Пример. Испытание: из урны, содержащей белых и черных шаров, наугад извлекается шар; после этого извлекается еще один шар. Найти вероятность события , которое заключается в том, что первый извлеченный шар окажется белым, а второй — черным.

Решение. Введем события: — первый извлеченный шар окажется белым; — второй извлеченный шар окажется черным. Тогда . По схеме равновозможных исходов . Если событие уже наступило, то в урне белых и черных шаров, так что . По теореме умножения:

.