Алгоритм реализации схемы равновозможных исходов

Практическое использование схемы равновозможных исходов опирается на алгоритм, который удобно сформулировать в виде последовательности вопросов. В зависимости от конкретной задачи ответы на некоторые из них могут быть тривиальны и прямо вытекать из условия задачи, из описания испытания. Однако в целом они необходимы для правильного применения последней теоремы.

1. В чем заключается произвольный исход испытания?

2. Являются ли исходы попарно несовместными?

3. Являются ли исходы равновероятными? (Положительный ответ может опираться на симметрию условий испытания по отношению к его исходам).

4. Каково общее число всех возможных исходов?

5. Чем характеризуется благоприятный исход (при котором наступает событие )?

6. Каково число благоприятных исходов?

7. Вычисление вероятности по формуле (9).

Рассмотрим примеры использования алгоритма при решении задач на определение вероятностей случайных событий.

Пример 1. Испытание: из урны, содержащей 5 белых и 7 черных (перемешанных) шаров, наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым.

Решение. Событие — извлеченный шар является белым. Отвечаем последовательно на вопросы алгоритма.

1. Отдельный исход испытания заключается в извлечении одного из имеющихся в урне шаров.

2. Поскольку извлекается ровно один шар, то разные исходы попарно несовместны.

3. Поскольку шары одинаковы по форме, то все исходы равновероятны.

4. Общее число возможных исходов равно количеству шаров в урне: .

5. Исход испытания благоприятствует событию , когда извлечен один из пяти белых шаров

6. Число благоприятных исходов .

7. .

Пример 2. Испытание: два раза бросается монета. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз.

Решение. Событие — в паре выпавших сторон хотя бы один раз встречается герб. Отвечаем последовательно на вопросы алгоритма.

1. При однократном бросании монеты могут быть два равновероятных (в силу симметрии монеты) исхода: выпадение герба (Г) и выпадение решетки (Р). Поэтому для испытания, состоящего из двух последовательных бросаний, отдельный исход можно обозначить парой из двух символов, каждый из которых может принимать значения «Г» или «Р»: (Г Г); (Р Р); (Г Р); (Р Г).

2. Разные исходы попарно несовместны, поскольку различаются результатом, по крайней мере, одного бросания.

3. Поскольку монета предполагается симметричной, и результаты отдельных бросаний друг на друга не влияют, то все исходы равновероятны.

4. Общее число возможных исходов равно количеству пар: .

5. Благоприятный исход имеет место, если в паре символов хотя бы один раз встречается «Г»: (Г Г); (Г Р); (Р Г).

6. Число благоприятных исходов (число таких пар) .

7. .

Пример 3. После семи бросаний монеты герб выпал ровно четыре раза. Найти вероятность того, что герб выпал при первых четырех бросаниях.

Решение. Номера успешных испытаний с выпадением герба по условию принимают четыре каких-либо значения из совокупности . Выбрать четыре номера из семи можно способами, так что общее число исходов . Лишь один исход является благоприятным, — когда успешны бросания с номерами ; таким образом, , и искомая вероятность равна .