II. Предельное равенство. Введем обозначение: – вероятность того, что в серии из испытаний по схеме Бернулли число успехов лежит в пределах: .

Введем обозначение: – вероятность того, что в серии из испытаний по схеме Бернулли число успехов лежит в пределах: .

Пусть, как и в п. 3.12: — количество испытаний по схеме Бернулли, — вероятность успеха, .

Теорема. Пусть для вероятности успеха в серии независимых испытаний по схеме Бернулли выполняется условие . Тогда для вероятности :

, (25)

или, учитывая определение функции :

. (26)

Замечания. 1. Поскольку является первообразной для , то интеграл в формулах (25) и (26), согласно формуле Ньютона-Лейбница, равен разности значений первообразной:

.

2. Предельное равенство (25) означает, что при больших имеет место приближенное равенство:

.

3. Точность приближенного равенства повышается с ростом .

Пример. Пусть вероятность успеха , число испытаний , границы для числа успехов , . Найти .

Решение. Имеем: , , , . Поэтому

.

Таким образом, следует ожидать, что при большом числе серий, из испытаний каждая, относительная частота тех серий, в которых число успехов окажется в пределах , составит около 89%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2001. — 575 с..

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002. — 478 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1979. — 400 с.

4. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: УРСС, 2003. — 205 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2001. — 318 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. М.: Высшая школа, 1997. — 416 с.

7. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1982. — 256 с.

8. Шкадова А.Р., Нырков А.П. Теория вероятностей. СПб.: СПГУВК, 2003. — 198 с.

9. Ястребов М.Ю. Схема равновозможных исходов. СПб.: СПГУВК. 1994. — 13 с.

10. Ястребов М.Ю. Производная и исследование функций. СПб.: СПГУВК. 2003. — 45 с.

11. Ястребов М.Ю. Введение в математическую логику. СПб.: СПГУВК, 2003. — 71 с.

12. Ястребов М.Ю. Математика. Неопределенный и определенный интегралы. СПб.: СПГУВК. 2004. — 55 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Предмет теории вероятностей ………………….....…….. 3

ГЛАВА I. КОМБИНАТОРИКА……….……………………….……….. 4

1.1. Факториалы………………….…………………………….………... 4

1.2. Принцип умножения…………..…………………………...……..... 4

1.3. Перестановки………………………………….…..………..……….. 6

1.4. Размещения…………….…………………………..….….……….... 7

1.5. Сочетания……………….…………………………………..………. 8

ГЛАВА II. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ……………..………..…….… 10

2.1. Классификация случайных событий……………..……….……….10

2.2. Операции над событиями ………………………..……………….. 12

2.3. Свойства операций над событиями …………….……………...… 15

2.4. Относительная частота события ……………….…………..…….. 16

ГЛАВА Ш. СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ ………………….…….… 18

3.1. Аксиоматическое введение вероятностей ……………….….……. 18

3.2. Непосредственные следствия из аксиом ……………….…….…... 18

3.3. Схема равновозможных исходов …………………………….…… 20

3.4. Алгоритм реализации схемы равновозможных исходов.…..…… 22

3.5. Эмпирический закон больших чисел ….…………………….……. 24

3.6. Условная вероятность ………………………..……………………. 25

3.7. Теорема умножения …………………………….…………….....… 26

3.8. Независимость событий …………………………………………… 27

3.9. Формула полной вероятности ………………..…………………… 30

3.10. Формулы Бейеса ……………………………………………..……. 32

3.11. Схема независимых испытаний Бернулли …………………….... 34

3.12. Локальная теорема Лапласа ……………….….…………….……. 36

3.13. Интегральная теорема Лапласа ……………….…………….…… 38

Список литературы. ……………….……………………………….…… 42