Производная показательной функции

Пример дифференцирования показательной функции
Найти производную функции
y = 3^5x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e.
3 = e^{ln 3}
Тогда

Вводим переменную
z = 5ln 3 · x.
Тогда

По таблице производных:

Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:

По правилу дифференцирования сложной функции:

Производная логарифмической функции

Доказательство
Вначале докажем теорему для функции y = ln x. Если аргумент x получит приращение Δ x, то функция y = ln x получит приращение
Воспользовавшись вторым замечательным пределом, свойствами предела функции и свойствами логарифмической функции, получаем

Теперь, так как то, вынося постоянную за знак производной, получаем

Производные тригонометрических функций
Доказательство
Если аргумент x получит приращение Δ x, то функция y = sin x получит приращение

Воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами предела функции, получаем

Утверждение 1) доказано. Утверждение 2) доказывается аналогично, заметим только, что приращение функции y = cos x можно записать так:

Производные обр. тригонометр. Функций.

Доказательство
Если y = arcsin x, то x = sin y. Получаем . Тогда и утверждение 1) доказано. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.

Производные высоких порядков
Рассмотрим дифференцируемую функцию y = f (x). Как было отмечено в п.1.1, ее производная f' сама является функцией. Может оказаться, что функция f' также является дифференцируемой. Дифференцируя f', мы получим еще одну функцию, которую называют второй производной от функции f и обозначают так:

Рассуждая аналогичным образом, можно определить производную любого порядка: третьего, четвертого и т.д. Производные третьего порядка обозначают следующим образом:

а производные n–го порядка так:

Если функция y = f (x) имеет производные второго, третьего, n–го порядков, то такую функцию называют соответственно дважды дифференцируемой, трижды дифференцируемой, n раз дифференцируемой.

Дифференциал.
Произведение f ' (x) Δ x называют дифференциалом функции y = f(x) и обозначают dy или df(x), т.е. dy = f'(x)Δ x.
Дифференциал суммы, произведения, частного
Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы.
Тогда

Дифференциалы высоких порядков. Рассмотрим n раз дифференцируемую функцию y=f(x). Ее дифференциал dy = f '(x)dx является функцией от x, причем от x зависит только f '(x), а dx является приращением аргумента Δ x и от x не зависит. Так как dy является функцией от x, то можно говорить о дифференциале этой функции:

Дифференциал дифференциала d(dy) называется вторым дифференциалом функции y=f(x) и обозначается так: d²y. Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка:

Рассмотрим сложную функцию y = f(u(x)). Пусть функции y = f(u), u = u(x) дважды дифференцируемы. Выразим второй дифференциал d²y сложной функции y = f(u(x)) через u, du:

Таким образом, дифференциалы высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).
Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

Интегрирование элементарных функций.
Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболеераспространенные функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случаеимеет место теорема:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам являетсяэлементарной функцией, то он представим в виде

где A_i — некоторые комплексные числа, а ψ _i — алгебраические функции своих аргументов.

Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям.
— применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл

где — многочлен -й степени.

Интегрирование дробно-рациональных выражений.
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Универсальной тригонометрической подстановкой называется подстановка вида

В англоязычной литературе в честь выдающегося немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815 - 1897) называется подстановкой Вейерштрасса.

Указанная подстановка применяется при интегрировании, когда подынтегральное выражение рационально зависит от тригонометрических функций. Указанная замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции.

При этом следует учесть, что из равенства получаем:

26.Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.