Решение однородных дифференциальных уравнений

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

38. Линейные однородные диф уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k ₁ и k ₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C ₁ и C ₂ − произвольные действительные числа.

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k ₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k ₁ = α + β i, k ₁ = α − β i. Общее решение записывается в виде

39.. Линейные неоднородные диф уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами