Метод вариации постоянных

Если общее решение y ₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C ₁ и C ₂ будем рассматривать вспомогательные функции C ₁(x) и C ₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f (x).

Неизвестные функции C ₁(x) и C ₂(x) определяются из системы двух уравнений:

40. Система нормальных диф уравнений.

В дифференциальные уравнения вида

может входить n неизвестных функций x1, …, xn. Тогда системой дифференциальных уравнений будет совокупность соотношений

Предположим, что эту систему можно разрешить относительно старших производных. В этом случае получим систему уравнений:

Такая система называется канонической системой дифференциальных уравнений. Вводя новые неизвестные функции, можно привести эту систему к системе первого порядка. Пусть

Тогда наша система перепишется в виде

В дальнейшем будем рассматривать систему из n уравнений первого порядка в виде

Эта система называется нормальной (канонической) системой дифференциальных уравнений. Эту систему будем записывать в векторной форме:

Тогда данная система будет представлена в виде:

Решением этой системы на интервале G называется совокупность n функций xi=xi(t), определенных на интервале G и таких, что подстановка их в эту систему обращает каждое ее уравнение в тождество на всем интервале G.

Если вектор-функция не зависит явно от времени t, то эта система называется автономной (стационарной).

41. Числовой ряд, определение, сходимость, свойства сходящихся числовых рядов.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).