Действительно, если бы он сходился при , то он сходился бы и в точке по теореме Абеля.

Радиус сходимости

Теорема 2: Теорема о радиусе сходимости.

Для каждого степенного ряда существует , удовлетворяющее свойствам:

1. Если , то ряд сходится только при .
2. Если , то ряд сходится при любых .
3. Если , то ряд сходится при и расходится при .

Сходимость на любом отрезке внутри интервала равномерная.

Число - радиус сходимости степенного ряда.

Утверждение о равномерной сходимости.

Если, то в точке ряд сходится, следовательно, по теореме Абеля он сходится равномерно на.

Теорема 3: Формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

1. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле:

2. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то:

45. Функциональные ряды, определение, сходимость