Понятие определённого интеграла

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [ a, b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x) – какая-нибудь первообразная функция для f (x), то, согласно определению,

(38)

При a = b по определению принимается

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F (b) – F (a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F (x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [ a, b ] приращения всех первообразных функции f (x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a). Полученное число и будет определённым интегралом.

27. Метод интегрирования по частям определенного интеграла.

Интегрирование по частям

Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула

▼ На отрезке [а; b] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Следовательно,

▲

Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

28. Вычисление площадей. Объемов и длин кривых с помощью определенного интегрирования.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b:

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

Длина дуги явно заданной кривой Если плоская кривая задана явно уравнением y= y x, x Э a b;, где y x – непрерывно дифференцируемая на a b; функция, то ее длина равна

Пусть функция y= y x непрерывна и неотрицательна на отрезке a b;. Объ- ем V тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра- ниченной графиком функции y= y x, отрезками прямых x= a и x= b и отрез- ком оси Ox, равен

29. Дифференцирование функции нескольких переменных.

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
.

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
.

Пусть задана функция . Если аргументу сообщить приращение , а аргументу – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .

Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
,
где и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается :
,
где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и .

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных их четыре:

30. Интегрирование функций нескольких переменных

• Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных z = z(x, y).

Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.

31. Диф. уравнения определение, понятие решения диф уравнения.

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение 2. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

F(x, y, y ', y '', …, y ⁽ⁿ⁾)=0.

Определение 3. Дифференциальное уравнение n -го порядка называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в него в первой степени. Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:

a ₀ (x)y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ (x)y ^(n-1) +... + a _n-1 (x)y ⁽¹⁾ + a _n (x)y = f(x). (1)

Определение 4. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным, если f(x)  0, и неоднородным - в противном случае.

Примеры дифференциальных уравнений:

y'' - sin x y' + ( cos x) y = tg x - линейное,

sin y' - cos y = ctg x - нелинейное,

y''' - y' = 0- линейное,

(y ^IV ) ² - 3 y''' + y = 1 - нелинейное.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y =  (x), при подстановке которой в уравнение будет получено тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Пример 1. y' - f(x) = 0, Пример 2. y'' = 0,

y' = f(x), y' = C,

y =  f(x)dx + C. y = C ₁ x + C ₂.

Определение 6. Решение дифференциального уравнения n -го порядка, содержащее n произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 7. Если в результате интегрирования дифференциального уравнения получена зависимость между y и x, из которой не удается явно выразить y через x (т.е. неизвестная функция задана неявно), то данную зависимость называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 8. Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. y'' + y = 0.

y = C ₁cos x + C ₂sin x - общее решение.

у ₁ = 3cos x -2sin x - частное решение.

32.Задача Коши. Геометрический смысл диф уравнения первого порядка.

Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f (x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

;

(8)

удовлетворяющее начальному условию

y (x 0) = y 0;

(9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме ).
Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x ₀ существует единственное решение задачи ((8), (9)).

. Геометрический смысл диф уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F (x, y, y ') = 0.

Если его возможно разрешить относительно производной y ', то оно приводится к виду y ' = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида (3.1).

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ' — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) дает графический способ построения его решения.

33. Диф уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f (x, y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p (x) и h (y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h (y):

Разумеется, нужно убедиться, что h (y) ≠ 0. Если найдется число x ₀, при котором h (x ₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h (y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

34. Уравнение в полных дифференциалах.