Абсолютная сходимость

Определение. Функциональный ряд сходится абсолютно на множестве , если функциональный ряд сходится на множестве ( может быть одной точкой)

Утверждение. Если сходится абсолютно на множестве , то он сходится на нём и в обычном смысле

Доказательство. Ряд сходится абсолютно на множестве , ряд сходится на , числовой ряд сходится числовой ряд сходится абсолютно числовой ряд сходится и в обычном смысле. Так как - произвольная точка из функциональный ряд сходится в обычном смысле на множестве .

Из утверждения следует, что , то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.

Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.

46. Разложение элементарных функций в ряде Тейлора и Маклорена. Ряд Фурье.