Приклади розв’язування задач. 1.Знайдіть можливі добутки матриць , .

1. Знайдіть можливі добутки матриць , .

Розв’язання:

Добуток існує: ,

Добуток – не існує, тому що кількість стовпців матриці (два стовпці) не дорівнює кількості рядків матриці (один рядок).

2. Дано матриці , , . Знайдіть .

Розв’язання:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Дано матрицю . Знайдіть .

Розв’язання:

;

.

За властивостями добутку матриць: , тому матриці та є переставними: .

4. Дано дві матриці: , . Обчисліть:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання:

а) За означенням добутку матриці на число обчислимо та :

; .

За правилом додавання матриць отримаємо:

.

б) За означенням транспонованої матриці . Помножимо елементи матриці на 3:

.

Тоді .

в) Знайдемо матрицю, що дорівнює .

.

Зауважимо, що за властивостями множення .

Тоді .

Матричним рівнянням називають рівняння, невідомим якого є матриця. Коренем матричного рівняння є матриця, яка при підстановці її у рівняння перетворює його на вірну тотожність. Два рівняння називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають. Для розв’язання матричних рівнянь використовують такі перетворення, як додавання до обох частин рівняння однієї і тієї ж матриці (за правилом додавання матриць), множення обох частин рівності на ненульове число, множення обох частин рівності на ненульову матрицю (за правилом множення матриць).

5. Знайдіть матрицю , якщо ( та – матриці з прикладу 4).

Розв’язання:

Додамо до обох частин даного рівняння матрицю , а потім помножимо обидві частини на число . Отримаємо:

.

, .

6. Перевірте, чи виконуються для матриць та з прикладу 4 рівності:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання:

а) Перевіримо виконання даної рівності. Для цього перетворимо ліву та праву його частини:

; ;

;

.

З іншого боку:

; ;

.

Отримаємо вірну рівність: .

б) За означенням добутку матриць:

; .

З іншого боку:

; ;

.

Рівність вірна.

в) Знайдемо квадрат суми матриць:

;

.

З іншого боку:

;

;

;

.

Таким чином,

.

Отже, твердження для даних матриць доведено.