Приклади розв’язування задач

1. Не розкриваючи визначників, доведіть справедливість рівностей:

а) ,

б) .

Розв’язання:

а) Використовуючи тригонометричні формули, отримаємо:

.

Оскільки перший та третій стовпці визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю (властивість 6).

б) За властивістю 7 представимо даний визначник у вигляді суми двох:

.

Перший доданок дорівнює нулю, так як у нього перший та третій рядки рівні (властивість 4). Винесемо множник з третього рядка останнього визначника (властивість 5):

.

За властивістю будемо мати:

.

Отже, рівність доведено.

2. Обчисліть визначники:

а) ; б) .

Розв’язання:

а) Спочатку з п’ятого рядка віднімемо другий, помножений на 4:

.

Далі розкладемо останній визначник за п’ятим рядком:

.

Таким чином, визначник п’ятого порядку зведено до визначника четвертого порядку. Тепер розкладемо останній визначник за другим рядком:

Визначник матриці третього порядку розкриємо за правилом трикутників та знайдемо значення вихідного визначника:

.

б) З другого, третього та четвертого рядка даного визначника віднімемо перший. Тим самим ми приведемо його до трикутного виду. Значення визначника верхньотрикутної матриці дорівнює добутку діагональних елементів. Так отримаємо:

.

3. Користуючись теоремою Лапласа, обчисліть визначник:

.

Розв’язання:

Теорему Лапласа зручно застосовувати для обчислення визначників, що містять нулі у декількох різних рядках, але в одних і тих самих стовпцях. Цій умові якраз і відповідає даний визначник (див. другий та четвертий рядки). Тому виділимо перший і третій його рядок. За теоремою Лапласа визначник дорівнює сумі добутків всіх мінорів, що складаються з елементів виділених рядків на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

.

Тільки один доданок із шести (четвертий) в отриманій сумі відмінний від нуля. Саме він дає значення даного визначника:

.

В подальшому при знаходженні значення визначника за теоремою Лапласа нульові доданки можна не записувати.

4. Користуючись теоремою Лапласа, обчисліть значення визначника:

.

Розв’язання:

У даному визначнику нульові елементі містять другий та п’ятий рядки. Тому при його розкритті будемо використовувати мінори, що включають в себе перший, третій та четвертий рядки. Застосовуючи теорему, отримаємо:

.

З десяти доданків, що отримали в такому розкладі, ненульовими будуть тільки три. Ясно, що це доданки, в яких мінори не містять нульові елементи третього та п’ятого стовпців. Таким чином, даний визначник дорівнює:

.