Методи розв’язання СЛАР. Метод Крамера

Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими ()

(*)

Одержимо явні вирази для розв’язку цієї системи через коефіцієнти й вільні члени в припущенні, що визначник матриці системи не дорівнює нулю.

Теорема Крамера. Якщо визначник матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь (*):

відмінний від нуля, то система (*) має єдиний розв’язок, тобто є сумісною й визначеною. Цей розв’язок визначається за правилом Крамера

, , …, ,

де – визначник, який отримано з визначника заміною i -го стовпця стовпцем вільних членів.

Наслідок. Якщо система n однорідних лінійних рівнянь із n невідомими має хоча б один нетривіальний розв’язок, то її визначник дорівнює нулю.

Зауваження. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (*):

1) має єдиний розв’язок при ;

2) має нескінченну множину розв’язків при , ;

3) не має жодного розв’язку, якщо й хоча б один з визначників , , відмінний від нуля.

Приклад. Визначте, чи є система сумісною, несумісною, визначеною, невизначеною. У випадку визначеності знайдіть розв’язки системи:

1) 2) 3)

Відповідь: 1) , ; 2) система не визначена, тому що ; 3) система не сумісна, тому що , , .