Тема: Методи знаходження оберненої матриці

Нехай – квадратна матриця -го порядку.

Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля. А якщо визначник дорівнює нулю, то матриця називається виродженою.

Приклад. Визначимо, при яких значеннях матриця вироджена. Для цього знайдемо її визначник:

.

Матриця буде виродженою, якщо її визначник дорівнюватиме нулю. Отже:

.

Відповідь: При матриця вироджена.

Оберненою до матриці називається матриця , якщо виконується умова , де – одинична матриця того ж порядку, що й матриця .

Матриця має той самий порядок, що й матриця .

Теорема. Кожна не вироджена матриця має обернену.

Приклад. Визначимо, при яких значеннях матриця має обернену. З попереднього прикладу видно, що при матриця вироджена, отже оберненої не має; при матриця не вироджена, тому обернена до неї матриця існує.

Властивості оберненої матриці:

1. ;

2. ;

3. .

Матрицю, обернену до даної, можна знайти, використовуючи один з двох методів:

1. метод алгебраїчних доповнень:

- обчислити визначник даної матриці: ;

- обчислити алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці;

- записати обернену матрицю у вигляді:

.

2. метод приєднання одиничної матриці:

- приєднати (приписати справа) до даної матриці одиничну матрицю того ж порядку: ;

- привести записану матрицю до виду за допомогою елементарних перетворень рядків матриці;

- записати .