Теорема Крамера. Матричний метод розв’язання СЛАР

Розглянемо систему рівнянь із невідомими виду:

Вона називається системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Ця система характеризується матрицею

,

яка називається розширеною матрицею системи. Їїрозмір – . Матриця, що стоїть ліворуч від вертикальної риски, називається матрицею системи. Елементами матриці системи є коефіцієнти при невідомих. Матриця, що стоїть праворуч від вертикальної риски, називається стовпцем вільних членів.

СЛАР називається однорідною, якщо стовпець вільних членів нульовий.

Розв’язком системи рівнянь називають будь-яку впорядковану сукупність дійсних чисел , яка має таку властивість: кожне рівняння системи перетворюється в тотожність, якщо покласти в ньому .

СЛАР називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Якщо система не має розв’язків, вона називається несумісною. Однорідна система є завжди сумісною, тому що має нульовий (тривіальний) розв’язок: . Крім нульового розв’язку, в однорідної системи можуть бути й ненульові розв’язки.

Теорема. Якщо число рівнянь однорідної системи менше числа невідомих, то система має нетривіальні розв’язки.

Якщо СЛАР має більше одного розв’язку, вона називається невизначеною, а якщо має єдиний розв’язок, то визначеною.

Дві системи лінійних алгебраїчних рівнянь називаються еквівалентними (рівносильними), якщо кожний розв’язок першої системи є розв’язком другої і навпаки.