Метод Гауса розв’язання СЛАР

Елементарними перетвореннями рядів матриці називають: 1) переміна місцями двох рядків матриці; 2) додавання до елементів одного рядка відповідних їм елементів іншого, помножених на ненульове число.

Теорема. Якщо від матриці до матриці можна перейти скінченим числом елементарних перетворень рядків, то всякий розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що відповідає матриці , служить розв’язком системи з матрицею і навпаки, тобто розглянуті системи рівнянь еквівалентні.

Матриця називається ступінчастою, якщо в ній під кожним першим ненульовим елементом рядка стоять тільки нулі.

Рангом матриці називається число ненульових рядків в матриці ступінчастого виду.

Теорема (теорема Кронекера-Капеллі) Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи, тобто .

Зауваження. 1) Якщо ранг матриці сумісної СЛАР дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок, тобто є визначеною. 2) Якщо ранг матриці сумісної СЛАР менше числа невідомих, то система має нескінченну множину розв’язків, тобто є невизначеною.

Алгоритм розв’язку системи рівнянь (*) методом Гауса:

1. Запишемо розширену матрицю вихідної системи рівнянь.

2. Приведемо матрицю до ступінчастого виду за допомогою елементарних перетворень рядків. Якщо в отриманій ступінчастій матриці є рядок, у якому перший ненульовий елемент перебуває на останньому місці, то вихідна система розв’язків не має (несумісна).

3. Якщо система рівнянь сумісна, то в системі рівнянь із матрицею необхідно відкинути рівняння, які відповідають нульовим рядкам матриці . У рівняннях, що залишилися, виділяємо головні невідомі (визначник, складений з коефіцієнтів при них, не дорівнює нулю), а члени з вільними невідомими переносимо в праві частини.

4. Послідовно виражаємо головні невідомі через вільні, рухаючись від останнього рівняння до першого, отримаємо загальний розв’язок системи.

5. Надаючи вільним невідомим різні числові значення й обчислюючи відповідні значення головних невідомих, одержимо різні розв’язки вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто отримаємо частинні розв’язки системи.

Приклад. Розв’яжіть системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) 2) 3)

Відповідь: 1) , ; 2) ; 3) .