Практичне заняття № 7

Тема: Систематизація та узагальнення знань з розділів лінійної алгебри: «Матриці», «Визначники», «Системи лінійних алгебраїчних рівнянь»

Дайте відповіді на наступні питання.

1. Чи можна додати матриці розмірами і ?

2. Чи можна помножити матрицю розмірами на матрицю з такими ж розмірами?

3. Які розміри має матриця , якщо відомо, що ?

4. Наведіть приклади рядка та стовпця , для яких існує добуток: а) ; б) ; в) и ; г) , та .

5. Яка матриця відіграє роль одиниці в операції множення матриць з розмірами ?

6. Для яких матриць існує ?

7. Відомо, що . Визначте значення та .

8. Знайдіть добутки матриць: а) ; б) .

9. Знайдіть , якщо .

10. Розв’яжіть матричне рівняння , якщо

.

11. Дано матриці . Чи існують добутки , , ?

12. Чи існує визначник матриці ?

13. Як зміниться визначник -го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку?

14. Використовуючи властивість лінійності визначника (№ 7), обчисліть

.

15. Як пов’язані між собою доповняльний мінор та алгебраїчне доповнення елемента визначника матриці -го порядку?

16. Як зміниться визначник порядку , якщо перший стовпець переставити на останнє місце, а інші стовпці пересунути вліво, зберігаючи їх порядок?

17. Як зміниться визначник, якщо кожний його елемент замінити елементом, симетричним з даним відносно «центру» визначника?

18. Як зміниться визначник порядку , якщо у всіх його елементів змінити знак на протилежний?

19. Чому дорівнює визначник, у якого сума рядків з парними номерами дорівнює сумі рядків з непарними номерами?

20. Дано матрицю . Знайдіть:

а) мінор , що стоїть на перетині першого, другого та четвертого рядків, першого, третього та четвертого стовпців;

б) мінор, доповняльний до мінору ;

в) алгебраїчне доповнення до мінору .

21. Обчисліть визначники:

а) , б) , в) , г) .

22. Використовуючи тільки властивості визначника, доведіть справедливість рівностей:

а) ; б) ;

в) .

23. Користуючись властивостями визначника, обчисліть:

а) ; б) ; в) ; г) .

24. Розв’яжіть рівняння .

25. Розв’яжіть нерівність .

26. Знайдіть всі члени визначника

,

що містять и .

27. Розв’яжіть матричні рівняння з невідомою матрицею в загальному вигляді: , , , , . Укажіть умови існування цих розв’язків.

28. Знайдіть невідому матрицю з рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

29. Як зміниться обернена матриця , якщо в матриці :

а) переставити -ий та -ий рядки;

б) -ий рядок помножити на число , відмінне від нуля;

в) до -ого рядка прибавити -ий, помножений на число , відмінне від нуля?

30. Запишіть систему двох рівнянь з двома невідомими, яка має нескінченно багато розв’язків (єдиний розв’язок).

31. Запишіть систему з найменшим числом невідомих, що має більше невідомих, ніж рівнянь, але не має розв’язків.

32. При яком значенні сумісна система