ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

1. Укажіть транспозиції, за допомогою яких можна перейти від перестановки:

1) до перестановки ;

2) до перестановки .

2. Знайдіть число інверсій у наступних перестановках та визначте їх парність:

1) ; 2) .

3. Знайдіть число інверсій в перестановках та укажіть загальний вигляд тих , для яких перестановка буде парною, та тих , для яких вона буде непарною:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4. З’ясуйте, які з наведених добутків є членами визначника відповідного порядку. У випадку позитивної відповіді визначте його знак:

1) ; 2) ; 3) .

5. Оберіть таким чином, щоб наступні добутки були додатними членами визначників відповідних порядків:

1) ; 2) .

6. Обчисліть визначники:

1) ; 2) ; 3)

7. Знайдіть розв’язки рівняння.

1) ; 2) ; 3) ;

4) , 5) .

8. При яких значеннях k система

сумісна?

9. При яких значеннях t система

має ненульові розв’язки?

10. Числа 204, 527 і 255 діляться на 17. Доведіть, що визначник також ділиться на 17.

11. Обчисліть визначник

.

12. Доведіть справедливість наступних рівностей:

1) ;

2) .

13. Розкладіть за елементами третього рядка і обчислити визначник

.

14. Розкладіть за елементами останнього стовпця і обчислити визначник

.

15. Розкладіть за елементами першого стовпця і обчислити визначник

.

16. Обчисліть визначники:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) .

17. Розв’яжіть за формулами Крамера системи рівнянь:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

18. Доведіть, що система

має єдиний розв’язок, якщо a, b, c, d — дійсні числа, серед яких не всі дорівнюють нулю.

19. Скільки визначників k -го порядку можна скласти з матриці, що має m рядків і n стовпців?

20. Складіть матрицю, ранг якої дорівнює: а) 2; б) 3.

21. Доведіть, що ранг суми двох матриць не перевищує суми рангів матриць-доданків.

22. Як може змінитися ранг матриці, якщо до неї дописати:

а) 1 стовпець, б) 2 стовпці?

23. Обчисліть ранг матриці:

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) . 9) .

10) . 11) .

12) . 13) .

24. Розв’яжіть системи рівнянь:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

25. Система

має єдиний розв’язок. Доведіть, що , і знайдіть розв’язок.

26. Розв’яжіть систему рівнянь в залежності від параметру:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

27. Чи є матриця фундаментальною системою розв’язків системи рівнянь

28. Знайдіть добутки матриць:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

29. Виконати дії:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

30. Доведіть, що кожна матриця другого порядку задовольняє рівняння .

31. Знайдіть всі матриці другого порядку, квадрати яких дорівнюють нульовій матриці.

32. Знайдіть всі матриці другого порядку, куби яких дорівнюють нульовій матриці.

33. Знайдіть всі матриці другого порядку, квадрати яких дорівнюють одиничній матриці.

34. Розв’яжіть і дослідіть рівняння , де – деяка відома матриця, а – шукана матриця другого порядку.

35. Розв’яжіть і дослідіть рівняння , де – деяка відома матриця, а – шукана матриця другого порядку.

36. Знайдіть обернену матрицю для матриці А.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

37. Знайдіть невідому матрицю з рівняння:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

38. Обчисліть , де , .

39. Знайдіть всі дійсні матриці другого порядку, куби яких дорівнюють одиничній матриці.

40. Знайдіть всі дійсні матриці другого порядку, четверті степені яких дорівнюють одиничній матриці.

41. Доведіть, що

1) ;

2) .

42. Обчисліть , якщо

, , .

43. Обчисліть , якщо

, , .

44. При яких значеннях система рівнянь не сумісна, сумісна? У випадку сумісності укажіть кількість розв’язків СЛАР:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

45. Знайдіть загальний розв’язок та ФСР однорідної СЛАР:

1) 2)

3) 4)

46. Користуючись теоремою Лапласа, знайдіть значення визначників:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

47. Знайдіть значення визначників -го порядку методом рекурентних співвідношень.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

48. Обчисліть значення визначників, що зводяться до визначника Вандермонда.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

49. Обчисліть визначники -го порядку:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .