Приклади розв’язування задач. 1.Знайдіть ранг матриць: а) ; б) ;

1. Знайдіть ранг матриць: а) ; б) ;

в) .

Розв’язання:

а) Зведемо матрицю до ступінчастого вигляду шляхом елементарних перетворень її рядків:

.

Тому .

б) .

Отже, .

в) .

Тоді .

2. Дослідіть на сумісність та знайдіть загальний розв’язок системи:

Розв’язання:

Запишемо розширену матрицю системи та приведемо її шляхом елементарних перетворень над рядками до ступінчастого виду:

.

Як бачимо, , тобто за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна. Кількість залежних змінних дорівнює , а незалежних . Тут – кількість змінних у системі. Система не визначена, так як .

Вихідну систему рівнянь представимо у вигляді:

Таким чином, отримаємо загальний розв’язок даної системи:

Тут – довільні числа.

3. Розв’яжіть СЛАР методом Гауса:

Розв’язання:

Для розв’язання СЛАР методом Гауса запишемо її розширену матрицю. Представимо читачу можливість самостійно привести її до ступінчатого виду, застосувавши елементарні перетворення над рядками. Запишемо лише результат:

.

Тоді , , тобто система визначена. Отже, .

4. Дослідіть систему на сумісність. У випадку сумісності – розв’яжіть:

Розв’язання:

.

Ранг матриці системи дорівнює двом, а розширеної – трьом. За теоремою Кронекера-Капеллі система несумісна.