Визначник та його властивості

Перестановкою натуральних чисел називається довільний впорядкований набір цих чисел.

Приклад. Перестановками чисел є , , .

Теорема. Існує різних перестановок з елементів.

Інверсією в перестановці називається пара елементів таких, що та перебуває лівіше . Кількість інверсій у перестановці позначається .

Приклад. а) У перестановці число 2 утворює інверсію , 1 не утворює інверсій, 4 – , 3 та 5 – не утворюють. Отже, .

б) Наведемо всі інверсії перестановки : , , , , , ; , , ; , , ; . Підрахуємо їх кількість: .

Перестановка називається парною, якщо в ній число інверсій парне, непарною – у противному випадку (див. попередній приклад).

Транспозицією називається таке перетворення перестановки, при якому міняються місцями два елементи перестановки (не обов’язково ті, що стоять поруч), а всі інші залишаються на місці. Всі перестановок з чисел можна розташувати в такому порядку, що кожна наступна буде отримуватись з попередньої однією транспозицією, причому починати можна з будь-якої перестановки.

Теорема. Будь-яка транспозиція змінює парність перестановки.

Підстановкою -го порядку (степеня)називають взаємно однозначне відображення множини у себе. Зазвичай підстановки записують у вигляді матриці розміру . У першому рядку розміщуються елементи від 1 до (прообрази), а в другому рядку – елементи, в які вони відображаються (образи).

Приклад. Підстановка четвертого порядку .

Підстановка – це дві перестановки, записані одна під іншою у вигляді матриці. Підстановка називається парною (непарною) якщо сума інверсій в обох рядках є числом парним (непарним).

Приклад. , отже підстановка непарна.

Зауваження. Якщо в підстановці поміняти місцями стовпці, то одержимо іншу форму запису тієї ж підстановки.

Приклад. .

Парність підстановки не залежить від форми її запису.

Приклад. , .

Визначником (детермінантом) квадратної матриці порядку називається число (або , або ), що дорівнює сумі доданків, кожний з яких є добутком елементів цієї матриці, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця зі знаком «плюс», якщо підстановка, складена з індексів елементів цього добутку, парна та зі знаком «мінус», якщо непарна.

Позначення: при

, , ;

, , ;

, , ;

…

, .

Означення детермінанта матриці порядку , з якого випливає правило його обчислення, є досить складним для сприйняття й застосування. Однак відомі методи, що дозволяють обчислити визначники високих порядків на основі визначників нижчих порядків.

Обчислення визначника 2-го порядку ілюструється схемою:

.

Приклад.

.

При обчисленні визначника 3-го порядку зручно користуватися:

- правилом трикутників, яке ілюструється схемою:

.

- правилом прямих (правилом Саррюса), яке ілюструється схемою:

.