Властивості визначників

1. Визначник не змінюється при транспонуванні, тобто .

2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

3. При перестановці двох рядків визначник змінює знак.

4. Визначник, що має два однакові рядки, дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи рядка визначника помножити на деяке число , то сам визначник помножиться на число .

6. Визначник, що містить два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

7. Якщо елементи будь-якого стовпця визначника являють собою суми двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників. Наприклад,

.

8. Якщо один з рядків визначника є лінійною комбінацією інших його рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного його рядка додати відповідні елементи іншого його рядка, помножені на одне і те саме число.

Мінором елемента визначника -го порядку називається визначник -го порядку, отриманий з шляхом викреслювання -го рядка та -го стовпця (на перетині яких перебуває обраний елемент). Позначення: .

Приклад. Для визначника запишемо мінори елемента та елемента : , .

Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається його мінор, узятий зі знаком , тобто .

Приклад. Для визначника запишемо такі алгебраїчні доповнення , .

10. Теорема (Розкладання визначника за елементами деякого рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (або стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення, тобто (або ).

Ця властивість є способом обчислення визначників вищих порядків.

Приклад. Розкладемо визначник за першим рядком:

11. Сума добутків елементів якого-небудь рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка цього ж визначника дорівнює нулю, тобто .

12. Визначник трикутної (верхньотрикутної або нижньотрикутної) матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

13. Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників .

Алгебраїчним доповненням мінору визначника називається мінор, отриманий з викреслюванням стовпців та рядків, на перетині яких стоять елементи мінору , взятий зі знаком «+», якщо сума номерів цих рядків та стовпців є числом парним та зі знаком «–», якщо непарним.

Теорема Лапласа. Зафіксуємо рядків визначника -го порядку. Тоді визначник дорівнює сумі добутків всіх визначників -го порядку, що містять елементи цих рядків, на їх алгебраїчні доповнення.